Definizione di raggio di convergenza

[mazzy89-votailprof]

Secondo la defizione di raggio di convergenza data dal libro del mio prof. si ha che:

Sia data la serie di potenze $sum_(n=0)^(+infty) a_n(x-x_0)^n$. Consideriamo il seguente insieme numerico: $H = {h>=0 : sum_(n=0)^(+infty) |a_n|h^n < +infty}$
L'insieme $H$ non è vuoto e quindi ammette estremo superiore $r="sup"H$ che si chiama raggio di convergenza della serie

Non capisco perchè l'insieme $H$ non è vuoto? Forse perchè dato che la serie dell'insieme converge, l'insieme contiene al più il valore somma della stessa?

Ecco qui un esempio:

$sum_(n=0)^(+infty) n!(x-2)^n$

sul libro riporta:

la serie è centrata nel punto $x_0=2$. Per $h>0$, si ha $lim_(n to +infty) root(n)(n!h^n)=+infty$

$H = {h>=0 : sum_(n=0)^(+infty) n!h^n < +infty}={0}$

perchè l'insieme è costituito solamente dallo zero?

[Rigel1]

Il punto $h=0$ appartiene sempre all'insieme $H$, visto che tutti i termini della serie sono nulli eccetto al più il primo.
Nell'esempio da te riportato hai che, se $h> 0$ ,allora la serie diverge; per quanto detto prima hai che $H$ contiene dunque solo il punto $h=0$.

[mazzy89-votailprof]

"Rigel":Il punto $h=0$ appartiene sempre all'insieme $H$, visto che tutti i termini della serie sono nulli eccetto al più il primo.
Nell'esempio da te riportato hai che, se $h> 0$ ,allora la serie diverge; per quanto detto prima hai che $H$ contiene dunque solo il punto $h=0$.

Chiaro. perfetto. Adesso ho capito. Ti ringrazio Rigel