Definizione di Operatore
Ciao a tutti,
nello studio di metodi mi è sorto un dubbio sulla definizione di Operatore.
Nel capitolo sugli spazi vettoriali (o lineari),
-l'Operatore viene definito Lineare quando lo spazio di arrivo coincide con lo spazio di partenza $ A : E -> X , E sube X ,$ X=Spazio vettoriale e E=sottospazio vettoriale,
distinguendosi dalla definizione di
- (caso particolare di applicazione lineare) Funzionale Lineare quando $ \rho: X -> K $ , X=spazio vettoriale e K=campo di appartenenza,
ed infine
-l'Applicazione o Trasform. è lineare quando $ A : X -> Y $, con X e Y due spazi vettoriali distinti sul medesimo campo.
Il mio dubbio nasce nel momento in cui si parla di spazio normato e il termine Operatore viene considerato come applicazione tra due spazi normati, o negli spazi di Banach (Completi) con X e Y distinti, mentre negli spazi di Hilbert (nonostante abbiano la struttura di spazio di Banach) si ha tutto in un'unico spazio H.
Qualcuno potrebbe spiegarmi bene la differenza?
Grazie
nello studio di metodi mi è sorto un dubbio sulla definizione di Operatore.
Nel capitolo sugli spazi vettoriali (o lineari),
-l'Operatore viene definito Lineare quando lo spazio di arrivo coincide con lo spazio di partenza $ A : E -> X , E sube X ,$ X=Spazio vettoriale e E=sottospazio vettoriale,
distinguendosi dalla definizione di
- (caso particolare di applicazione lineare) Funzionale Lineare quando $ \rho: X -> K $ , X=spazio vettoriale e K=campo di appartenenza,
ed infine
-l'Applicazione o Trasform. è lineare quando $ A : X -> Y $, con X e Y due spazi vettoriali distinti sul medesimo campo.
Il mio dubbio nasce nel momento in cui si parla di spazio normato e il termine Operatore viene considerato come applicazione tra due spazi normati, o negli spazi di Banach (Completi) con X e Y distinti, mentre negli spazi di Hilbert (nonostante abbiano la struttura di spazio di Banach) si ha tutto in un'unico spazio H.
Qualcuno potrebbe spiegarmi bene la differenza?
Grazie
Risposte
Direi che è solo questione di nomenclatura, niente di importante o fondamentale... L'unica cosa "fondamentale" è la differenza che si fa tra funzionali ed il resto.
Insomma, i funzionali sono applicazioni che ad ogni elemento dello spazio vettoriale associano un elemento del campo su cui sono costruiti; mentre gli operatori, o trasformazioni che dir si voglia, sono applicazioni tra spazi vettoriali.
Questa è la differenza da tenere a mente; il resto sono cose che lasciano il tempo che trovano e variano da contesto a contesto.
Insomma, i funzionali sono applicazioni che ad ogni elemento dello spazio vettoriale associano un elemento del campo su cui sono costruiti; mentre gli operatori, o trasformazioni che dir si voglia, sono applicazioni tra spazi vettoriali.
Questa è la differenza da tenere a mente; il resto sono cose che lasciano il tempo che trovano e variano da contesto a contesto.
Grazie gugo82!!
Mi ricollego al discorso sopra iniziato. Una forma sesquilineare è un funzionale lineare? sto trattando gli spazi di hilbert e nella definiz di forma sesquilineare considera un'applicazione di questo tipo:
$ q: ExxE -> K $ (K= Reale o Complesso)
Ne approfitto per chiedere un'ulteriore chiarimento.
Nel caso di applicazione continua il lemma, nei testo in cui studio, afferma : Sia E uno spazio pre-hilbertiano. Allora l'applicazione $ \phi: HxxH -> K $ è continua.
Il mio dubbio sta nel fatto che inizialmente parla di spazio pre-hilbertiano e poi considera nell'applicazione lo spazio completo di hilbert...non capisco perchè.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come funziona?
Grazie
$ q: ExxE -> K $ (K= Reale o Complesso)
Ne approfitto per chiedere un'ulteriore chiarimento.
Nel caso di applicazione continua il lemma, nei testo in cui studio, afferma : Sia E uno spazio pre-hilbertiano. Allora l'applicazione $ \phi: HxxH -> K $ è continua.
Il mio dubbio sta nel fatto che inizialmente parla di spazio pre-hilbertiano e poi considera nell'applicazione lo spazio completo di hilbert...non capisco perchè.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come funziona?
Grazie
"mic_1":
Mi ricollego al discorso sopra iniziato. Una forma sesquilineare è un funzionale lineare? sto trattando gli spazi di hilbert e nella definiz di forma sesquilineare considera un'applicazione di questo tipo:
$ q: ExxE -> K $ (K= Reale o Complesso)
Come detto, un funzionale lineare è un'applicazione da uno spazio vettoriale [tex]$E$[/tex] sul campo [tex]$\mathbb{K}$[/tex] su cui [tex]$E$[/tex] è costruito.
La tua [tex]$q$[/tex] non è definita in [tex]$E$[/tex], quindi non è un funzionale lineare.
Potresti pensare di dotare [tex]$E\times E$[/tex] della struttura canonica di spazio vettoriale prodotto: in tal caso [tex]$q$[/tex] sarebbe un funzionale, ma non un funzionale lineare (a meno che [tex]$\mathbb{K} =\mathbb{R}$[/tex]).
Tuttavia, per fissato [tex]$y\in E$[/tex], l'applicazione [tex]$q(\cdot ,y):E\ni x\mapsto q(x,y)\in \mathbb{K}$[/tex] è un funzionale lineare (cosa che non vera per [tex]$q(x,\cdot)$[/tex]).
"mic_1":
Nel caso di applicazione continua il lemma, nel testo in cui studio, afferma : Sia E uno spazio pre-hilbertiano. Allora l'applicazione $ \phi: HxxH -> K $ è continua.
Il mio dubbio sta nel fatto che inizialmente parla di spazio pre-hilbertiano e poi considera nell'applicazione lo spazio completo di hilbert...non capisco perchè.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come funziona?
Non so qual è il tuo testo, quindi non posso dire nulla circa la dimostrazione che fa.
Poi, se non ci dici chi è [tex]$\phi$[/tex] è praticamente impossibile risponderti...
Probabilmente se, come credo, [tex]$\phi (x,y)$[/tex] è il prodotto scalare di [tex]$E$[/tex], allora la continuità è garantita dalla sesquilinearità e dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, le quali valgono a prescindere dalla completezza dello spazio; quindi la dimostrazione può esser fatta direttamente in uno spazio pre-Hilbert senza ulteriori ipotesi.
Scusami ma non ho capito perchè q non sia definita in E.
Nella definizione di forma sesquilineare : sia E spazio vett sul campo K. Un'applicazione $ q:E xx E -> K $ è detta forma sesquilineare se q(x,y) è lineare in y e antilineare in x.
Quindi come da te indicato la differenza tra forma sesquilineare (quindi di prodotto scalare) e funzionale lineare sta nella antilinearità di x? Giusto?
Scusami non sono un matematico e forse non è così immediata per me...potresti spiegarmi come funzionano le cose? Grazie
Nella definizione di forma sesquilineare : sia E spazio vett sul campo K. Un'applicazione $ q:E xx E -> K $ è detta forma sesquilineare se q(x,y) è lineare in y e antilineare in x.
Quindi come da te indicato la differenza tra forma sesquilineare (quindi di prodotto scalare) e funzionale lineare sta nella antilinearità di x? Giusto?
Scusami non sono un matematico e forse non è così immediata per me...potresti spiegarmi come funzionano le cose? Grazie
Mi vuoi dire che per te [tex]$E\times E=E$[/tex]? 
Sarebbe un po' come dire che [tex]$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}$[/tex]???
Sarebbe un po' come dire che [tex]$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}$[/tex]???
Un intervento rapido: non è vero che una forma bilineare $q:E times E to RR$ è una applicazione lineare rispetto allo spazio vettoriale prodotto $E times E$, nel caso a qualcuno fosse venuto in mente. Esempio: per $E=RR$, sia $q(x, y)=xy$. Una forma bilineare ma non una applicazione lineare: ad esempio $2=q(1,1)+q(1,1) \ne q((1,1)+(1,1))=q(2,2)=4$.
@dissonance: In effetti quel mio "a meno che" tra parentesi era abbastanza ambiguo. Grazie per la precisazione dissonance.
ok..avete ragione...ma c'è un legame tra le due definizioni (forma sesquilin e funzionale lineare)....esattamente in cosa consiste?
l'ho letto ma non trovo collegamento tra le due definizioni...trovo differenze sostanziali ma non collegamenti...mi sembra, confermi?
Vi ringrazio ragazzi per le spiegazioni molto utili datemi...ne avevo bisogno!!
proseguendo con lo studio ho trovato, forse, un legame tra le due definizioni, ossia: tramite il prodotto scalare si può costruire una corrispondenza tra spazio di hilbert e il suo duale...tutto tramite il funzionale lineare.
Ora vedo di approfondire meglio le cose...capitolo appena iniziato....cmq grazie ancora per le spiegazioni/correzioni!!
Vi ringrazio ragazzi per le spiegazioni molto utili datemi...ne avevo bisogno!!
proseguendo con lo studio ho trovato, forse, un legame tra le due definizioni, ossia: tramite il prodotto scalare si può costruire una corrispondenza tra spazio di hilbert e il suo duale...tutto tramite il funzionale lineare.
Ora vedo di approfondire meglio le cose...capitolo appena iniziato....cmq grazie ancora per le spiegazioni/correzioni!!
"mic_1":
l'ho letto ma non trovo collegamento tra le due definizioni...trovo differenze sostanziali ma non collegamenti...mi sembra, confermi?
Vi ringrazio ragazzi per le spiegazioni molto utili datemi...ne avevo bisogno!!
Sinceramente, non capisco cosa vuol dire "collegamento" per te.
A partire da una forma sesquilineare puoi sempre definire dei funzionali lineari... Questo non basta?
"mic_1":
proseguendo con lo studio ho trovato, forse, un legame tra le due definizioni, ossia: tramite il prodotto scalare si può costruire una corrispondenza tra spazio di hilbert e il suo duale...tutto tramite il funzionale lineare.
Ora vedo di approfondire meglio le cose...capitolo appena iniziato....cmq grazie ancora per le spiegazioni/correzioni!!
Questo è il teorema di rappresentazione di Riesz dei funzionali su uno spazio di Hilbert... Ma in realtà esso ti garantise di più di una semplice corrispondenza: infatti ti fornisce addirittura un'isomorfismo isometrico tra due spazi di Hilbert.
il teorema di Fisher-Riesz mi pare che affermi proprio che il prodotto scalare (forma sesquilineare) costituisce il più generale funzionale lineare e continuo su uno spazio di hilbert.
No, perchè un prodotto scalare non è un funzionale lineare... Pensavo l'avessimo chiarito prima.
@mic_1: Secondo me ti conviene prendere una pausa e studiare questi argomenti (spazio duale, forme bilineari) prima nel contesto più semplice degli spazi di dimensione finita. Altrimenti ti perdi tutte le idee dietro gli spazi di Hilbert. Ti consiglio due risorse:
1) Lang Algebra lineare, capp. 7-8;
2) Sharipov http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 , capp.3-4.
Il primo è più semplice e leggibile, il secondo più conciso e avanzato (e liberamente scaricabile).
1) Lang Algebra lineare, capp. 7-8;
2) Sharipov http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 , capp.3-4.
Il primo è più semplice e leggibile, il secondo più conciso e avanzato (e liberamente scaricabile).
Ti ringrazio intanto dissonance...provvedo subito a scaricarli e ad approfondire l'argomento... a presto
ciao dissonance...sono riuscita a guardare solo il secondo documento allegato...però per togliere ogni dubbio vorrei, quando hai tempo, che tu mi spiegassi quanto è riportato su questo link:
http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Prodotto_scalare_e_spazi_di_Hilbert
precisamente nella sezione dei teoremi...c'è il corollario 2.5.10 e il teorema 2.5.12...
Grazie!
http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Prodotto_scalare_e_spazi_di_Hilbert
precisamente nella sezione dei teoremi...c'è il corollario 2.5.10 e il teorema 2.5.12...
Grazie!
@mic: Hai un PM. Clicca sul riquadro "$1$ nuovo messaggio" in alto per leggerlo.
ti ringrazio dissonance...ora ho le idee più chiare...!!
E come è possibile? 
Il PM (=messaggio privato) non lo hai letto mica.
Il PM (=messaggio privato) non lo hai letto mica.
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