Definizione di Operatore
Ciao a tutti,
nello studio di metodi mi è sorto un dubbio sulla definizione di Operatore.
Nel capitolo sugli spazi vettoriali (o lineari),
-l'Operatore viene definito Lineare quando lo spazio di arrivo coincide con lo spazio di partenza $ A : E -> X , E sube X ,$ X=Spazio vettoriale e E=sottospazio vettoriale,
distinguendosi dalla definizione di
- (caso particolare di applicazione lineare) Funzionale Lineare quando $ \rho: X -> K $ , X=spazio vettoriale e K=campo di appartenenza,
ed infine
-l'Applicazione o Trasform. è lineare quando $ A : X -> Y $, con X e Y due spazi vettoriali distinti sul medesimo campo.
Il mio dubbio nasce nel momento in cui si parla di spazio normato e il termine Operatore viene considerato come applicazione tra due spazi normati, o negli spazi di Banach (Completi) con X e Y distinti, mentre negli spazi di Hilbert (nonostante abbiano la struttura di spazio di Banach) si ha tutto in un'unico spazio H.
Qualcuno potrebbe spiegarmi bene la differenza?
Grazie
nello studio di metodi mi è sorto un dubbio sulla definizione di Operatore.
Nel capitolo sugli spazi vettoriali (o lineari),
-l'Operatore viene definito Lineare quando lo spazio di arrivo coincide con lo spazio di partenza $ A : E -> X , E sube X ,$ X=Spazio vettoriale e E=sottospazio vettoriale,
distinguendosi dalla definizione di
- (caso particolare di applicazione lineare) Funzionale Lineare quando $ \rho: X -> K $ , X=spazio vettoriale e K=campo di appartenenza,
ed infine
-l'Applicazione o Trasform. è lineare quando $ A : X -> Y $, con X e Y due spazi vettoriali distinti sul medesimo campo.
Il mio dubbio nasce nel momento in cui si parla di spazio normato e il termine Operatore viene considerato come applicazione tra due spazi normati, o negli spazi di Banach (Completi) con X e Y distinti, mentre negli spazi di Hilbert (nonostante abbiano la struttura di spazio di Banach) si ha tutto in un'unico spazio H.
Qualcuno potrebbe spiegarmi bene la differenza?
Grazie
Risposte
il file lo sto scaricando....ora proverò a leggerlo ma non so se mi chiarirà le idee....forse mi potessi spiegare quanto ti avevo chiesto....la formula del teorema di riesz f(x)= ....il membro a sinistra è un funzionale lineare e continuo e il membro a destra è un prodotto scalare...è questo il mio dubbio principale...spero che tu possa dirmi qualcosa in merito...grazie
Come ho detto in precedenza, fissato [tex]$y$[/tex] in [tex]$H$[/tex], le proprietà del prodotto scalare ti consentono di definire un funzionale lineare continuo ponendo:
[tex]$Y: H\ni x\mapsto \langle x,y\rangle \in \mathbb{C}$[/tex];
insomma, fissando il secondo argomento del prodotto scalare (o, in generale a seconda delle notazioni, l'argomento rispetto al quale il prodotto è solo additivo, ma non omogeneo), si ottiene un funzionale lineare continuo nell'altra variabile.
Quindi il prodotto scalare (che non è un funzionale lineare!!!) ti consente di costruire dei funzionali lineari.
Il teorema di Riesz ti dice che vale anche il viceversa, ossia che comunque tu scelga un funzionale lineare continuo [tex]$f\in H^\prime$[/tex], allora esiste un unico [tex]$y\in H$[/tex] tale che [tex]$f=Y$[/tex], ossia t.c. [tex]$f(x)=\langle x,y\rangle$[/tex] per ogni [tex]$x\in H$[/tex].
Quindi ogni funzionale lineare [tex]$f$[/tex] su [tex]$H$[/tex] si rappresenta usando il prodotto scalare per un fissato [tex]$y\in H$[/tex], detto rappresentante di [tex]$f$[/tex].
[tex]$Y: H\ni x\mapsto \langle x,y\rangle \in \mathbb{C}$[/tex];
insomma, fissando il secondo argomento del prodotto scalare (o, in generale a seconda delle notazioni, l'argomento rispetto al quale il prodotto è solo additivo, ma non omogeneo), si ottiene un funzionale lineare continuo nell'altra variabile.
Quindi il prodotto scalare (che non è un funzionale lineare!!!) ti consente di costruire dei funzionali lineari.
Il teorema di Riesz ti dice che vale anche il viceversa, ossia che comunque tu scelga un funzionale lineare continuo [tex]$f\in H^\prime$[/tex], allora esiste un unico [tex]$y\in H$[/tex] tale che [tex]$f=Y$[/tex], ossia t.c. [tex]$f(x)=\langle x,y\rangle$[/tex] per ogni [tex]$x\in H$[/tex].
Quindi ogni funzionale lineare [tex]$f$[/tex] su [tex]$H$[/tex] si rappresenta usando il prodotto scalare per un fissato [tex]$y\in H$[/tex], detto rappresentante di [tex]$f$[/tex].
ok, quanto avete riportato l'ho capito soprattutto nell'ultimo post, ma vorrei che qualcuno gentilmente mi spiegasse COSA CIPISCE dal testo che riporto nel post...purtoppo non ho uno scanner , proverò pertanto a riportare la parte del testo: (Lo so che per voi potrebbe essere una perdita di tempo ma vorrei capire il significato di questo testo su cui sto studiando per l'esame.) Grazie
[inizio testo]
SPAZIO DUALE
Sia H uno spazio di Hilbert, $ x \in H$ fissato, consideriamo l'applicazione
$ H -> C $
$ y -> $
è lineare e continua, cioè limitata per la disuguaglianza di Schwarz $|| \leq ||x|| ||y|| = C ||y|| $ con $ C=||x|| $, indipendente da y.
Pertanto per ogni elemento di $ x $ risulta definito un elemento appartenente allo spazio duale topologico $ H' $.
Sostanzialmente tramite il PRODOTTO SCALARE abbiamo costruito una corrispondenza tra $ H $ e il suo duale $ H' $ : $J : x -> Jx \in H'$
con Jx definito da: $H' H = $ dove abbiamo ripreso nel membro sx le nozioni usate per FUNZIONALE LINEARE. Essendo anche CONTINUO, cioè LIMITATO, possiamo valutare la norma....( fino ad arrivare ad ottenere che $ ||Jx||=||x||$. NON MOSTRO TUTTI I PASSAGGI).
TEOR DI FISHER-RIESZ: Per ogni funzionale lineare e continuo $f \in H' $ esiste un unico elemento $ x \in H$ tale che : $H' H = $
Sostanzialmente tale teorema afferma che il PRODOTTO SCALARE costituisce il PIù GENERALE FUNZIONALE LINEARE E CONTINUO su uno spazio di Hilbert.
Questo risultato costituisce il motivo per l'uso delle medesime notazioni per indicare sia i Funzionali Lineari (e Continui) che il Prodotto Scalare.
In oltre permette di identificare lo spazio duale topologico di uno spazio di hilbert con lo spazio di hilbert stesso.
[fine testo]
[inizio testo]
SPAZIO DUALE
Sia H uno spazio di Hilbert, $ x \in H$ fissato, consideriamo l'applicazione
$ H -> C $
$ y ->
è lineare e continua, cioè limitata per la disuguaglianza di Schwarz $|
Pertanto per ogni elemento di $ x $ risulta definito un elemento appartenente allo spazio duale topologico $ H' $.
Sostanzialmente tramite il PRODOTTO SCALARE abbiamo costruito una corrispondenza tra $ H $ e il suo duale $ H' $ : $J : x -> Jx \in H'$
con Jx definito da: $
TEOR DI FISHER-RIESZ: Per ogni funzionale lineare e continuo $f \in H' $ esiste un unico elemento $ x \in H$ tale che : $
Sostanzialmente tale teorema afferma che il PRODOTTO SCALARE costituisce il PIù GENERALE FUNZIONALE LINEARE E CONTINUO su uno spazio di Hilbert.
Questo risultato costituisce il motivo per l'uso delle medesime notazioni per indicare sia i Funzionali Lineari (e Continui) che il Prodotto Scalare.
In oltre permette di identificare lo spazio duale topologico di uno spazio di hilbert con lo spazio di hilbert stesso.
[fine testo]
Capisco che questa frase:
è scritta davvero coi piedi.
Dovrebbe essere ripensata; probabilmente così potrebbe andare meglio:
ma comunque non mi piace granché.
Sostanzialmente tale teorema afferma che il PRODOTTO SCALARE costituisce il PIù GENERALE FUNZIONALE LINEARE E CONTINUO su uno spazio di Hilbert.
è scritta davvero coi piedi.
Dovrebbe essere ripensata; probabilmente così potrebbe andare meglio:
Sostanzialmente il teorema afferma che un generico funzionale lineare e continuo su uno spazio di Hilbert si può costruire usando il prodotto scalare: basta fissare, tra i due argomenti, quello rispetto al quale il prodotto non è lineare.
ma comunque non mi piace granché.
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