Definizione di limite superiore e inferiore
Ho studiato in analisi una definizione che proprio non mi va giù, quella di limite superiore e limite inferiore (= limite massimo e limite minimo) di una successione reale.
Rispetto alle definizioni dei libri mi sembrano più chiare, ma nonostante questo non riesco bene a capire come vengono costruite le due successioni $e'_n$ ed $e"_n$.
Prendiamo ad esempio $e'_n$: non capisco esattamente cosa associa ad ogni $n$. Come può associargli l'estremo inferiore di un insieme, che è un valore sempre costante? Ne risulterebbe una successione anch'essa costante
Saluti, Lorenzo
Che definizione hai tu, di massimo e minimo limite? Se ne possono dare parecchie, tutte equivalenti; le due secondo me più utili sono queste:
I) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $E$ come l'insieme dei punti limite (anche noti come valori di aderenza, o anche un po' impropriamente punti di accumulazione. Sono tutti i reali estesi a cui converge qualche sottosuccessione di ${a_n}$). Questo insieme, è facile da dimostrare, è chiuso in $ℝ∪{-∞,∞}$. Quindi di sicuro ammette massimo e minimo (eventualmente $+-infty$) che definiremo rispettivamente massimo limite e minimo limite di ${a_n}$.
II) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $e'_n="inf"{a_k | k≥n}$,$e''_n="sup"{a_k | k≥n}$. Queste successioni si dicono anche degli inf definitivi e sup definitivi rispettivamente. E' facile verificare che sono successioni monotone. Di conseguenza sono certamente regolari (=ammettono limite, eventualmente non finito). Definiremo minimo limite, massimo limite di an il limite di e'n,e''n rispettivamente.
Queste due definizioni sono equivalenti, e la verifica di questo non è difficile (se serve la posso postare in seguito).
Rispetto alle definizioni dei libri mi sembrano più chiare, ma nonostante questo non riesco bene a capire come vengono costruite le due successioni $e'_n$ ed $e"_n$.
Prendiamo ad esempio $e'_n$: non capisco esattamente cosa associa ad ogni $n$. Come può associargli l'estremo inferiore di un insieme, che è un valore sempre costante? Ne risulterebbe una successione anch'essa costante
Saluti, Lorenzo
Risposte
"anonymous_ed8f11":
II) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $e'_n="inf"{a_k | k≥n}$,$e''_n="sup"{a_k | k≥n}$. Queste successioni si dicono anche degli inf definitivi e sup definitivi rispettivamente. E' facile verificare che sono successioni monotone. Di conseguenza sono certamente regolari (=ammettono limite, eventualmente non finito). Definiremo minimo limite, massimo limite di an il limite di e'n,e''n rispettivamente.
...
Prendiamo ad esempio $e'_n$: non capisco esattamente cosa associa ad ogni $n$. Come può associargli l'estremo inferiore di un insieme, che è un valore sempre costante? Ne risulterebbe una successione anch'essa costante
Prova a vedere chi è ${a_k | k≥1}$, ${a_k | k≥2}$, ${a_k | k≥3}$, etc. su una successione. Ad esempio su $a_n = 1/n$.
[mod="Steven"]Avevi dimenticato dei dollari, e non si vedevano le formule. Li ho aggiunti io.[/mod]
Per favore, non mi bannate!
"anonymous_ed8f11":Sei andato a ripescare questo mio vecchio messaggio! Sono molto contento che ti sia tornato utile.Che definizione hai tu, di massimo e minimo limite? Se ne possono dare parecchie, tutte equivalenti; le due secondo me più utili sono queste:
I) [...]
II) [...]
Ora ho capito, l'insieme non è sempre lo stesso, bensì ad ogni aumento di un unità di $n$ l'insieme diventa più "piccolo" di un'unità.
Resta ancora una cosa da chiarire...come mai le due successioni $e'_n$ ed $e"_n$ sono per forza monotone? (addirittura mi sembra di aver letto su qualche libro che una deve essere crescente e l'altra decrescente
). Le dimostrazioni venivano date per immediate...magai era così per gli autori, perchè per me non lo sono di certo 
Resta ancora una cosa da chiarire...come mai le due successioni $e'_n$ ed $e"_n$ sono per forza monotone? (addirittura mi sembra di aver letto su qualche libro che una deve essere crescente e l'altra decrescente
). Le dimostrazioni venivano date per immediate...magai era così per gli autori, perchè per me non lo sono di certo
"anonymous_ed8f11":
Ora ho capito, l'insieme non è sempre lo stesso, bensì ad ogni aumento di un unità di $n$ l'insieme diventa più "piccolo" di un'unità.
Resta ancora una cosa da chiarire...come mai le due successioni $e'_n$ ed $e"_n$ sono per forza monotone? (addirittura mi sembra di aver letto su qualche libro che una deve essere crescente e l'altra decrescente
Per la monotonia basta ricordare che se [tex]A,B\subseteq \mathbb{R}[/tex] sono non vuoti si ha:
[tex]A\subseteq B \quad \Rightarrow \quad \inf B \leq \inf A \text{ e } \sup A \leq \sup B[/tex].
In particolare se [tex]A=\{a_k\}_{k\geq n+1}[/tex] e [tex]B=\{a_k\}_{k\geq n}[/tex] si ha [tex]A\subseteq B[/tex] e quindi [tex]e^\prime_n \leq e^{\prime}_{n+1}\leq e^{\prime \prime}_{n+1}\leq e^{\prime \prime}_{n}[/tex].
P.S. linguistico: la "forza" lasciamola in palestra... In matematica "per forza" non si dice; è più corretto usare l'avverbio necessariamente.
OT
Oppure a fortiori, così facciamo contenti tutti
Oppure a fortiori, così facciamo contenti tutti
[OT]
Eh, ma chi non ha fatto il liceo (o letto i libri di Cafiero, Ciliberto, Greco e altri con quel tipo di background) non apprezzerebbe la finezza.
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"WiZaRd":
OT
Oppure a fortiori, così facciamo contenti tutti
Eh, ma chi non ha fatto il liceo (o letto i libri di Cafiero, Ciliberto, Greco e altri con quel tipo di background) non apprezzerebbe la finezza.
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OT
Cose che capitano
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