Definizione di limite: $c$ è di accumulazione se e solo se $f$ è definita in un intorno di $c$?
Ho un dubbio sui punti di accumulazione, che vengono usati nella definizione di limite.
Ho visto che in alcuni libri, per definire il limite per $x \to c$ si richiede che la funzione sia definita in un intorno bucato di $c$, altri richiedono che $c$ sia di accumulazione.
Queste due condizioni sono equivalenti?
Mi sembra di capire che se $c$ è di accumulazione (destro o sinistro), la funzione è definita in un intorno (destro o sinistro) di $c$, è vero? E vale il viceversa?
Ringrazio in anticipo
Ho visto che in alcuni libri, per definire il limite per $x \to c$ si richiede che la funzione sia definita in un intorno bucato di $c$, altri richiedono che $c$ sia di accumulazione.
Queste due condizioni sono equivalenti?
Mi sembra di capire che se $c$ è di accumulazione (destro o sinistro), la funzione è definita in un intorno (destro o sinistro) di $c$, è vero? E vale il viceversa?
Ringrazio in anticipo
Risposte
In pratica, nel caso specifico, le due proposizioni sono equivalenti ...
La sostanza consiste nel fatto che per poter "calcolarci" il limite, noi dobbiamo avvicinarci ad esso quanto desideriamo (senza "limiti" ...
), perciò la funzione deve poter esistere per qualsiasi numero "vicino" al punto a cui otteniamo oppure (che è lo stesso) in ogni intorno del nostro $x_0$ devono sempre esserci punti ddl dominio ...
Cordialmente, Alex
La sostanza consiste nel fatto che per poter "calcolarci" il limite, noi dobbiamo avvicinarci ad esso quanto desideriamo (senza "limiti" ...
), perciò la funzione deve poter esistere per qualsiasi numero "vicino" al punto a cui otteniamo oppure (che è lo stesso) in ogni intorno del nostro $x_0$ devono sempre esserci punti ddl dominio ...Cordialmente, Alex
"midu107":
Ho un dubbio sui punti di accumulazione, che vengono usati nella definizione di limite.
Ho visto che in alcuni libri, per definire il limite per $x \to c$ si richiede che la funzione sia definita in un intorno bucato di $c$, altri richiedono che $c$ sia di accumulazione.
Queste due condizioni sono equivalenti?
No, non lo sono.
La condizione giusta è \(c\) sia di accumulazione per il dominio; l'altra è una condizione più forte, ma meno generale.
Ad esempio, la funzione \(f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := x
\]
ha limite in ogni punto di \(\mathbb{R}\), pur non essendo definita in alcun intorno forato di nessun punto della retta reale.
"midu107":
Mi sembra di capire che se $c$ è di accumulazione (destro o sinistro), la funzione è definita in un intorno (destro o sinistro) di $c$, è vero? E vale il viceversa?
No.
Se $c$ è di accumulazione (da ambo i lati, solo a destra, solo a sinistra) per il dominio della funzione, il dominio non è tenuto a contenere necessariamente un intorno (completo, destro, sinistro) di $c$.
Grazie mille per le risposte e il controesempio! Mi sembrava troppo semplice aver capito! 
Per Gugo82:
Potresti solo spiegarmi cosa intendi dicendo che imporre $f$ definita in un intorno forato di $c$ è una condizione più forte?
Per Gugo82:
Potresti solo spiegarmi cosa intendi dicendo che imporre $f$ definita in un intorno forato di $c$ è una condizione più forte?
Leggendo su un libro di analisi, precisamente il Conti Ferrario Terracini Verzini, quando si stabilisce l’equivalenza tra la definizione di continuità di una funzione in $c$ e il limite $lim_{x \to c} f(x) =f(c) $ , si pongono queste condizioni (cito testualmente):
Per affermare che $f$ è continua in $c \iff lim_{x \to c} f(x) =f(c)$
. $f$ deve essere definita nel punto $c$ ($c \in dom f$)
. Deve esistere $lim_{x \to c} f(x) =f(c) $ (quindi in particolare $f$ deve essere definita in un intervallo aperto che contiene $c$)
. $lim_{x \to c} f(x) =f(c) $
Il teorema mi è chiaro ma il problema è la frase in grassetto!!
E’ vero che se io so che il $lim_{x \to c} f(x) $ esiste (o è definibile? La frase del libro “deve esistere” è un po’ ambigua) allora la funzione è per forza definita in un intorno bucato di $c$?
Il controesempio di Gugo82 non contraddice questa affermazione?
Per affermare che $f$ è continua in $c \iff lim_{x \to c} f(x) =f(c)$
. $f$ deve essere definita nel punto $c$ ($c \in dom f$)
. Deve esistere $lim_{x \to c} f(x) =f(c) $ (quindi in particolare $f$ deve essere definita in un intervallo aperto che contiene $c$)
. $lim_{x \to c} f(x) =f(c) $
Il teorema mi è chiaro ma il problema è la frase in grassetto!!
E’ vero che se io so che il $lim_{x \to c} f(x) $ esiste (o è definibile? La frase del libro “deve esistere” è un po’ ambigua) allora la funzione è per forza definita in un intorno bucato di $c$?
Il controesempio di Gugo82 non contraddice questa affermazione?
Credo che ciò dipenda dalla definizione di limite di una funzione adottata nel testo.
Non avendolo sotto mano non so risponderti meglio.
Non avendolo sotto mano non so risponderti meglio.
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