Definizione di limite alternativa

[stepp_92]

Salve, vorrei sapere se è valida la definizone di limite posta in questo modo, e in caso affermativo , perchè?

$\lim_{x \to \(x_0)}f(x) = l$ <--->

$EE M>0 : AA\epsilon > 0 EEI_(x0):AA x in I_(x0)nnX-{x_0} -> |f(x)-l|
Il professore ci ha dato questa versione alternativa dicendo che basta prendere epsilon2= epsilon/M... ma è giusto? cioè mi fido , peròho dei dubbi, è lecito fare questo?

[Sk_Anonymous]

Corretta, anche se non ne afferro l'utilità. Il docente vuole dire che, fissato $[M>0]$, sia $[epsilon]$ che $[Mepsilon]$ possono essere resi piccoli a piacere.

[stepp_92]

L' utilità sta nella dimostrazione del teorema : Sia $f:[a,b]->R$ continua ->f è Riemann-integrabile

Nella dimostrazione , il passo finale è $ \sum_{i=1}^\n\(M_i - m_i)(x_i - x_(i-1)) < \epsilon\sum_{i=1}^\n\(x_i - x_(i-1))$

ovvero gli insiemi delle le somme superiori e inferiori di F relative ad una partizione P sono contigui. Se la definizione di limite non fosse stata valida sarebbe risultato che, detti:
$M_i$ = Sup $f(x):x in[x_i,x_(i-1)]$
$m_i$ = inf $f(x):x in[x_i,x_(i-1)]$
s(f,P) le somme inferiori relative a F rispetto a una partizione P , S(f,P) le somme superiori e P*[a,b] l' insieme delle partizioni di [a,b] e
$A:{ s(f,P):P in P'[a,b]} $
$B:{S(f,P):P inP'[a,b]}$

A e B non sarebbero stati contigui se la definizione di limite non fosse stata esatta

[dissonance]

Il tuo prof ha voluto fare della filosofia su una cosa ovvia. Non ti ci concentrare troppo, è un dettaglio tecnico di scarsa importanza.

[Sk_Anonymous]

Ok. In ogni modo, il semplice fatto che, fissato $[M>0]$, sia $[epsilon]$ che $[Mepsilon]$ possano essere resi piccoli a piacere, secondo me non merita alcuna formalizzazione. Anche secondo dissonance.