Definizione di limite
Salve a tutti, mi è stato proposto il seguente quesito:
Sia $f:[-9,+\infty] \to RR$. Si dice che "il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $-7$ è uguale a $3$ se .." [continuare la definizione]
e io ho risposto così:
Il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $-7$ è uguale a $3$ se $\forall \epsilon>0 \exists U \in \mathcal{U}_{(-7)}:\forall x \in U\cap[-9,+\infty], x!= -7 \Rightarrow |f(x)-3|<\epsilon$
Che ne dite?
Sia $f:[-9,+\infty] \to RR$. Si dice che "il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $-7$ è uguale a $3$ se .." [continuare la definizione]
e io ho risposto così:
Il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $-7$ è uguale a $3$ se $\forall \epsilon>0 \exists U \in \mathcal{U}_{(-7)}:\forall x \in U\cap[-9,+\infty], x!= -7 \Rightarrow |f(x)-3|<\epsilon$
Che ne dite?
Risposte
Immagino che la U fronzoluta significhi "intorno di ". Allora va (ovviamente) bene
Se hai usato gli intorni per $x_0$, perché non usi gli intorni anche per $f(x)$?
"Vulplasir":
Se hai usato gli intorni per $x_0$, perché non usi gli intorni anche per $f(x)$?
Non ho capito ....
Nella tua definizione, per definire dove si deve trovare $x$, hai usato un intorno forato di $x_0$: $U_(x_0)$, dove $x_0=-7$, mentre per definire dove si deve trovare $f(x)$ hai usato una disuguaglianza. Ecco, quello che dico io è che questa disuguaglianza si può rimpiazzare da un intorno di $l$, essendo $l$ il limite. Ossia, se x appartiene a un intorno di $x_0$, allora f(x) appartiene a un intorno di $l$, e la definizione diventa:
$AA I_(l), EE U_(x_0) : AA x in U nn [-9, +oo], x!=x_0, rArr f(x) in I_(l)$
$AA I_(l), EE U_(x_0) : AA x in U nn [-9, +oo], x!=x_0, rArr f(x) in I_(l)$
Ok adesso ho capito, ti ringrazio.. Gentilissimo!
Così si ha una simmetria perfetta e la massima generalità ; in una unica formulazione , quella indicata da Vulplasir , si racchiudono tutti i casi : $x_0 $ finito o $oo $ ; $ l $ finito o $oo $.
Se $l $ è finito l'intorno $I_l $ è costituito da un arbitrario intervallo aperto $(a, b) $ al quale $ l $ sia interno . se $ l $ è $oo $ , l'intorno $I_l $ è costituito dai valori esterni a un arbitrario intervallo chiuso $(c,d) $.
Lo stesso vale per il punto $x_0 $.
Se $l $ è finito l'intorno $I_l $ è costituito da un arbitrario intervallo aperto $(a, b) $ al quale $ l $ sia interno . se $ l $ è $oo $ , l'intorno $I_l $ è costituito dai valori esterni a un arbitrario intervallo chiuso $(c,d) $.
Lo stesso vale per il punto $x_0 $.