Definizione di integrale di linea
Studiando gli integrali curvilinei sono incappato in qualche dubbio, magari qualcuno mi può dare una delucidazione.
Supponiamo $\gamma$ una curva rettificabile, $\Gamma$ il suo sostegno ($\Gamma=\gamma([a,b])$), $f:\Gamma\toRR$.
Un po' ovunque ho trovato questa definizione: (Dobbiamo aggiungere l'ipotesi che $\gamma$ sia regolare ovvero $\gamma in C^1, \gamma'!=0$)
(*)$int_\gamma f dS=int_a^b f(\gamma(t))||\gamma'(t)||dt$
Ora io presumo che la $S$ indichi la lunghezza d'arco, ovvero $S(t)=text(lunghezza)(\gamma|_{[a,t]})$.
Domanda: da dove salta fuori questa formula?
Io penso che, se definissimo delle somme superiori e inferiori per la funzione $f$ sulla curva $\gamma$ in questa maniera (dove $P={t_0,ldots,t_n}$ è una partizione di $[a,b]$):
$L(P)=\sum_{i=1}^n\text(inf){f\circ\gamma(t)|t in [t_(i-1), t_i]}*(S(t_i)-S(t_(i-1)))$, $U(P)=\sum_{i=1}^n\text{sup}\ldots$
(che mi pare la cosa più naturale), arriveremmo a definire il primo membro della (*) come elemento di separazione delle due classi esattamente come per gli integrali su un intervallo. (Senza altre ipotesi sulla curva oltre alla rettificabilità).
Se poi la curva fosse di classe $C^1$, la $S(t)$ diventa $int_a^t||\gamma'||$ e facendoci due conti verifichiamo che i due membri della (*) sono equivalenti.
Va bene secondo voi?
Ma, se fosse come penso io, perché allora nei libri si richiede che la curva sia regolare, oltre che $C^1$? Che fastidio ci darebbe l'annullamento di $||\gamma'||$?
Supponiamo $\gamma$ una curva rettificabile, $\Gamma$ il suo sostegno ($\Gamma=\gamma([a,b])$), $f:\Gamma\toRR$.
Un po' ovunque ho trovato questa definizione: (Dobbiamo aggiungere l'ipotesi che $\gamma$ sia regolare ovvero $\gamma in C^1, \gamma'!=0$)
(*)$int_\gamma f dS=int_a^b f(\gamma(t))||\gamma'(t)||dt$
Ora io presumo che la $S$ indichi la lunghezza d'arco, ovvero $S(t)=text(lunghezza)(\gamma|_{[a,t]})$.
Domanda: da dove salta fuori questa formula?
Io penso che, se definissimo delle somme superiori e inferiori per la funzione $f$ sulla curva $\gamma$ in questa maniera (dove $P={t_0,ldots,t_n}$ è una partizione di $[a,b]$):
$L(P)=\sum_{i=1}^n\text(inf){f\circ\gamma(t)|t in [t_(i-1), t_i]}*(S(t_i)-S(t_(i-1)))$, $U(P)=\sum_{i=1}^n\text{sup}\ldots$
(che mi pare la cosa più naturale), arriveremmo a definire il primo membro della (*) come elemento di separazione delle due classi esattamente come per gli integrali su un intervallo. (Senza altre ipotesi sulla curva oltre alla rettificabilità).
Se poi la curva fosse di classe $C^1$, la $S(t)$ diventa $int_a^t||\gamma'||$ e facendoci due conti verifichiamo che i due membri della (*) sono equivalenti.
Va bene secondo voi?
Ma, se fosse come penso io, perché allora nei libri si richiede che la curva sia regolare, oltre che $C^1$? Che fastidio ci darebbe l'annullamento di $||\gamma'||$?
Risposte
Provo ad aggiustare il tiro e ad essere meno generico.
Per parlare di integrale curvilineo esteso alla curva $\gamma$, posso capire che si richieda la classe $C^1$ per $\gamma$, così segue automaticamente la rettificabilità, con una espressione analitica delle lunghezze, e si possono calcolare gli integrali su $\gamma$ come fossero integrali su un intervallo.
Ma quello che non mi spiego è il motivo per cui si richiede che la derivata della curva non sia mai nulla. Che fastidio ci dà?
Un esempio cretino: se una macchina si muove per un'ora, si ferma per due secondi (derivata nulla), riparte e si muove per un'altra ora, che lavoro ha compiuto la gravità? Non possiamo calcolarlo?
Per parlare di integrale curvilineo esteso alla curva $\gamma$, posso capire che si richieda la classe $C^1$ per $\gamma$, così segue automaticamente la rettificabilità, con una espressione analitica delle lunghezze, e si possono calcolare gli integrali su $\gamma$ come fossero integrali su un intervallo.
Ma quello che non mi spiego è il motivo per cui si richiede che la derivata della curva non sia mai nulla. Che fastidio ci dà?
Un esempio cretino: se una macchina si muove per un'ora, si ferma per due secondi (derivata nulla), riparte e si muove per un'altra ora, che lavoro ha compiuto la gravità? Non possiamo calcolarlo?
Propongo una domanda ancora più sintetica per vedere se trovo il capo della matassa:
Se una curva $\gamma:[a,b]\toRR^n$ è tale che $\gamma'(t_0)=\mathbf{0}$ per qualche $t_0$, allora non è regolare nemmeno a tratti. E' vero?
Se una curva $\gamma:[a,b]\toRR^n$ è tale che $\gamma'(t_0)=\mathbf{0}$ per qualche $t_0$, allora non è regolare nemmeno a tratti. E' vero?
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