Definizione di integrale curvilineo di una funzione

[Francesco712]

La definizione di integrale su una curva di una funzione mi ha sempre fatto pensare per la presenza del modulo \(\displaystyle |\varphi'(t)| \) del vettore tangente. Mi verrebbe più naturale definire l'integrale curvilineo semplicemente come \(\displaystyle \int_a^b f(\varphi(t))dt\) in cui c'è comunque traccia della curva \(\displaystyle \varphi \), invece del corretto \(\displaystyle \int_a^bf(\varphi(t))|\varphi'(t)|dt \)
Ricordo che nel caso in cui si prende come parametro l'ascissa curvilinea \(\displaystyle s \) il vettore tangente diventa un versore e quindi il modulo scompare, ma la definizione generale è quella con il modulo che io sarei sempre tentato a non considerare.
Trattandosi di una definizione l'ho sempre accettata così com'è, ma sentirei il bisogno di giustificarla.

[dissonance]

Ti serve per avere invarianza per cambiamenti di parametrizzazione. Altrimenti l'integrale dipenderebbe anche dalla particolare parametrizzazione scelta per la curva.

[lordb]

Io lo vedo come la radice del graamiano(:= determinante della matrice di Graam) dove i vettori che la costituiscono (in prodotto scalare evidentemente) sono le derivate parziali della parametrizzazione:

$int_(phi(D))f *ds=int_D f(phi(t))*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt$

Poichè abbiamo un solo parametro si ha la semplice derivata di una funzione vettoriale, dunque la matrice di Graam è :

$G=()=(||phi'(t)||^2)$

$gamma_(phi'(t))=det(G)=||phi'(t)||^2$


$int_(phi(D))f *ds=int_D f(phi(t))*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt=int_D f(phi(t))*||phi'(t)||dt$

La radice del graamiano funge da coefficiente di dilatazione della misura quando si integra su sottovarietà, altrimenti si usa il valore assoluto dello jacobiano.