Definizione di integrale
salve a tutti
mi chiamo massimiliano e sono appassionato di matematica anche se non la capisco molto.
uno degli argomenti che mi piacciono di piu sono gli integrali.
a scuola mi hanno insegnato che l'integrale è la somma di infiniti rettangoli di area infinitesimale. ovviamente è una definizione fatta alla buona, così sono andato a guardarmi wikipedia.
e wiki dice
l'integrale di f nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è il limite per n che tende all'infinito della somma integrale
$sigma_n=(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$
se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti t_s nell's-esimo subintervallo di [a,b]:
$int_(a)^(b)f(x)dx=lim_(n to +oo)sigma_(n)=lim_(n to +oo)(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$
nel paragrafo precedente però wiki definisce l'integrale come elemnto separatore tra l'insieme delle somme integrali superiori e l'insieme delle somme integrali inferiori.
volevo chiedervi alcune cose:
1) queste def. sono equivalenti?
2) se la def. col limite è corretta, allora l'integrale è la somma di una serie? lo chiedo perché le serie sono somme all'infinito... almeno credo...
chiedo queste cose perke penso di nn avere bene capito la definizione formale di integrale.
grazie
mi chiamo massimiliano e sono appassionato di matematica anche se non la capisco molto.
uno degli argomenti che mi piacciono di piu sono gli integrali.
a scuola mi hanno insegnato che l'integrale è la somma di infiniti rettangoli di area infinitesimale. ovviamente è una definizione fatta alla buona, così sono andato a guardarmi wikipedia.
e wiki dice
l'integrale di f nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è il limite per n che tende all'infinito della somma integrale
$sigma_n=(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$
se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti t_s nell's-esimo subintervallo di [a,b]:
$int_(a)^(b)f(x)dx=lim_(n to +oo)sigma_(n)=lim_(n to +oo)(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$
nel paragrafo precedente però wiki definisce l'integrale come elemnto separatore tra l'insieme delle somme integrali superiori e l'insieme delle somme integrali inferiori.
volevo chiedervi alcune cose:
1) queste def. sono equivalenti?
2) se la def. col limite è corretta, allora l'integrale è la somma di una serie? lo chiedo perché le serie sono somme all'infinito... almeno credo...
chiedo queste cose perke penso di nn avere bene capito la definizione formale di integrale.
grazie
Risposte
A parte qualche abuso di linguaggio stile sms, quanto alla matematica l'approccio classico alla teoria dell'integrazione di Riemann prevede di definire l'integrale come elemento separatore di due classi, somme superiori e somme inferiori. L'uso del limite invece dell'elemento separatore è caratteristico dell'integrazione "alla Cauchy", che però è più complicata da gestire formalmente, si richiede un limite "uniforme" rispetto alla suddivisione scelta. Le due integrazioni sono del tutto equivalenti: una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se è integrabile secondo Cauchy, ed in tal caso i valori dei due integrali coincidono.
quindi quel limite è un normale limite di successione opppure è un limite leggrmente diverso?
grazie
grazie
In verità è qualcosa di un po' (tanto) diverso: infatti ad ogni $n$ corrispondono infiniti valori di $sigma_n$, cioè tanti quante sono le possibili scelte dei punti $t_1,\ldots ,t_n$ negli intervallini della suddivisione dell'intervallo $[a,b]$ (e tali scelte sono infinite, appunto, perchè ogni intervallino contiene infiniti punti tra cui scegliere).
Diciamo che dietro l'innocente (ed evocativo) simbolo $lim_(n\to +oo) sigma_n$ c'è un po' di "lavoro sporco" di definizione che va fatto ma chè è un po' incasinato da spiegare.
Diciamo che dietro l'innocente (ed evocativo) simbolo $lim_(n\to +oo) sigma_n$ c'è un po' di "lavoro sporco" di definizione che va fatto ma chè è un po' incasinato da spiegare.
A Luca.Lussardi
grazie per il link. lo leggerò con attenzione.
A Gugo82
mi consigli qualche buon testo per iniziale l'analisi? un testo che magari spieghi le cose con molta chiarezza, per uno insomma come me un poco imbranato, senza però approdare a somplificazioni sbagliatte.
grazie per il link. lo leggerò con attenzione.
A Gugo82
mi consigli qualche buon testo per iniziale l'analisi? un testo che magari spieghi le cose con molta chiarezza, per uno insomma come me un poco imbranato, senza però approdare a somplificazioni sbagliatte.
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