Definizione di integrale

mximiliam
salve a tutti
mi chiamo massimiliano e sono appassionato di matematica anche se non la capisco molto.
uno degli argomenti che mi piacciono di piu sono gli integrali.

a scuola mi hanno insegnato che l'integrale è la somma di infiniti rettangoli di area infinitesimale. ovviamente è una definizione fatta alla buona, così sono andato a guardarmi wikipedia.
e wiki dice

l'integrale di f nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è il limite per n che tende all'infinito della somma integrale

$sigma_n=(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$

se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti t_s nell's-esimo subintervallo di [a,b]:

$int_(a)^(b)f(x)dx=lim_(n to +oo)sigma_(n)=lim_(n to +oo)(b-a)/(n)sum_(s=1)^(n)f(t_s)$

nel paragrafo precedente però wiki definisce l'integrale come elemnto separatore tra l'insieme delle somme integrali superiori e l'insieme delle somme integrali inferiori.

volevo chiedervi alcune cose:

1) queste def. sono equivalenti?
2) se la def. col limite è corretta, allora l'integrale è la somma di una serie? lo chiedo perché le serie sono somme all'infinito... almeno credo... :oops:

chiedo queste cose perke penso di nn avere bene capito la definizione formale di integrale.

grazie

Risposte
Luca.Lussardi
A parte qualche abuso di linguaggio stile sms, quanto alla matematica l'approccio classico alla teoria dell'integrazione di Riemann prevede di definire l'integrale come elemento separatore di due classi, somme superiori e somme inferiori. L'uso del limite invece dell'elemento separatore è caratteristico dell'integrazione "alla Cauchy", che però è più complicata da gestire formalmente, si richiede un limite "uniforme" rispetto alla suddivisione scelta. Le due integrazioni sono del tutto equivalenti: una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se è integrabile secondo Cauchy, ed in tal caso i valori dei due integrali coincidono.

mximiliam
quindi quel limite è un normale limite di successione opppure è un limite leggrmente diverso?

grazie

gugo82
In verità è qualcosa di un po' (tanto) diverso: infatti ad ogni $n$ corrispondono infiniti valori di $sigma_n$, cioè tanti quante sono le possibili scelte dei punti $t_1,\ldots ,t_n$ negli intervallini della suddivisione dell'intervallo $[a,b]$ (e tali scelte sono infinite, appunto, perchè ogni intervallino contiene infiniti punti tra cui scegliere).

Diciamo che dietro l'innocente (ed evocativo) simbolo $lim_(n\to +oo) sigma_n$ c'è un po' di "lavoro sporco" di definizione che va fatto ma chè è un po' incasinato da spiegare. :-D

Luca.Lussardi
Una utile referenza può essere questa:

http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/PSPDF/perf1.pdf

mximiliam
A Luca.Lussardi
grazie per il link. lo leggerò con attenzione.


A Gugo82
mi consigli qualche buon testo per iniziale l'analisi? un testo che magari spieghi le cose con molta chiarezza, per uno insomma come me un poco imbranato, senza però approdare a somplificazioni sbagliatte.

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