Definizione di integrale
Dovendo dare una definizione di integrale è più corretto partire dall'integrale definito o dall'integrale indefinito?
E' meglio iniziare dal fatto che l'integrale è un operatore che permette di calcolare l'area di un trapezoide delimitato da una funzione in un intervallo e poi introdurre il teorema fondamentale del calcolo integrale per poter quindi arrivare al concetto di integrale indefinito come operatore inverso della derivata, o viceversa è meglio partire dal fatto che l'integrale è l'operatore inverso della derivata?
E' meglio iniziare dal fatto che l'integrale è un operatore che permette di calcolare l'area di un trapezoide delimitato da una funzione in un intervallo e poi introdurre il teorema fondamentale del calcolo integrale per poter quindi arrivare al concetto di integrale indefinito come operatore inverso della derivata, o viceversa è meglio partire dal fatto che l'integrale è l'operatore inverso della derivata?
Risposte
Il discorso parte dalla ricerca delle primitive, poi attraverso il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostri che il calcolo dell'area avviene attraverso gli integrali definiti.
In molti testi (vedi ad esempio Pagani-Salsa) si definisce prima l'integrale definito, poi si introduce il teorema fondamentale del calcolo integrale facendo vedere che il problema di "misurare gli insiemi" e quello di trovare le primitive sono collegate.
Inoltre questo è lo sviluppo che avviene anche nei corsi più avanzati di teoria della misura, cioè prima si definisce un integrale "per misurare gli insiemi" poi si fa vedere, con dei teoremi più avanzati, che il concetti di derivazione e integrazione sono in qualche misura collegati.
Io ritengo che il miglior modo di introdurre l'integrale sia il seguente:
- durante lo studio del calcolo differenziale si introduce allo studente il concetto di primitiva senza far uso della notazione integrale
- introdurre l'integrale come "calcolo di aree"
- mostrare il TFC facendo vedere la "magia" del calcolo di integrale tramite variazione di primitiva
Questo approccio è preferibile, secondo me, per due ragioni:
1- Si abitua lo studente a non usare con leggerezza la frase "l'integrale è l'operazione inversa della derivata"
2- Si segue quello che è lo sviluppo storico, ma anche quello dei corsi più avanzati sulla misura
Inoltre questo è lo sviluppo che avviene anche nei corsi più avanzati di teoria della misura, cioè prima si definisce un integrale "per misurare gli insiemi" poi si fa vedere, con dei teoremi più avanzati, che il concetti di derivazione e integrazione sono in qualche misura collegati.
Io ritengo che il miglior modo di introdurre l'integrale sia il seguente:
- durante lo studio del calcolo differenziale si introduce allo studente il concetto di primitiva senza far uso della notazione integrale
- introdurre l'integrale come "calcolo di aree"
- mostrare il TFC facendo vedere la "magia" del calcolo di integrale tramite variazione di primitiva
Questo approccio è preferibile, secondo me, per due ragioni:
1- Si abitua lo studente a non usare con leggerezza la frase "l'integrale è l'operazione inversa della derivata"
2- Si segue quello che è lo sviluppo storico, ma anche quello dei corsi più avanzati sulla misura
Io invece forse ritengo più opportuno introdurre prima l'integrale definito come strumento per calcolare l'area di un trapezoide delimitato da una funzione, per poi allacciarsi tramite il teorema fondamentale alla definizione di primitiva
Apro e chiudo una fondamentale parentesi: l'integrale definito, in generale[nota]Cioè senza fare ipotesi sul segno della funzione integranda.[/nota], non ha alcuna interpretazione geometrica elementare.
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