Definizione di insieme compatto

[indovina]

Ho preso dal mio quaderno degli appunti, tutto quello che ho trovato a riguardo, perchè è l'unico argomento di cui il marcellini-sbordone non tratta.
Spero in una supervisione di dissonance

Definizione di insieme compatto.
Un insieme è compatto se è chiuso e limitato.
Esempio:
$[0;1]$ insieme chiuso e limitato, dunque compatto in $RR$

$[0;1)$ $U$ $(1;2]$ non è chiuso, il difetto è $1$ che è un punto di accumulazione

$[0;1]$ $U$ $[1;3]$ unione di due chiusi, è ancora un chiuso

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Detto $X$ un sottoinsieme di $RR$ si scrive che:
$X$ è incluso in $RR$ , e dove $X$ è compatto per le successioni.
Se ogni successione di punti di $X$ ha una estratta convergente a un punto di $X$.
In formule:
per ogni $(x_n)$ con $n$ appartenente a $N$, $x_n$ appartenente a $X$, allora esiste un $x_(k_n)$ convergente ad un punto dell'insieme $X$ ovvero: $x_(k_n)->x_0$

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Dimostrazione:
$H.p$
$X$ incluso in $RR$
$X$ compatto

$T.h$
1)$X$ chiuso $[X>=D_r(x)]$
2)$X$ limitato

dimostrazione 1)
$x_0$ appartenente a $D_r(x)$ $->$ $X_0$ appartiene a $X$
$x_0=lim_(n->+oo)X_n$
esiste una estratta $x_(k_n)$ che converge a $x_0$
Dunque $x_0$ stsa nell'insieme cioè: $X_0$ appartiene a $X$ ed $X$ è un insieme chiuso.

dimostrazione 2)
supponiamo che $X$ non sia limitato superiormente:
per ogni $M>0$, esiste un $x$ appartenente ad $X$ tale che $x>M$
per ogni $n$ appartenente ad $N$, esiste un $x_n$ appartenente ad $X$ tale che $x_n>n$
la successione $(x_n)->+oo$ è divergente
dove $+oo$ è punto di accumulazione per l'insieme.
Dunque è un insieme non limitato superiormente
L'estratta convergente non c'è, e la successione è divergente.
Ma non può essere non-limitato


Lo so, è un gran casino, vorrei rimettere questi appunti a posto, ma non saprei come fare.
Grazie.

[regim]

Ciao andrea mi sono riletto i vecchi post perche' ho perso il filo del discorso e ho risposto a soggetto invece che all'eccezione che hai sollevato. Hai interpretato una affermazione interrogativa di Gugo come se volesse intendere no, mentre era per dire si, da qui sono nate tutte le risposte. Gugo voleva dire che si anche in $C^n$ e' vero, una volta introdotta una metrica, che un insieme compatto e' sequenzialmente compatto, le due definizioni sono intercambiabili, puoi assumerne una e dimostrare l'altra, in realta' esiste un teorema molto generale che tratta la questione in termini di spazi metrizzabili per cui quelle due definizioni sono equivalenti. Poi hai sollevato un eccezione che alla luce dei ragionamenti sopra non so spiegarmi, confondi una relazione d'ordine quando parli di confronti possibili o meno, con la possibilita' di definire o meno una metrica e quindi la definizione di insieme limitato? boh Io ti ho risposto nel merito dicendoti soltanto che il fatto che tu abbia stabilito o meno una relazione d'ordine, non c'entra nulla con la definizione di insieme limitato che presuppone una funzione distanza cioe' una metrica.

PS
Ovviamente io te non stavamo dicendo la stessa cosa, non fosse altro perche', almeno io, non ho proprio capito fino in fondo l'eccezione che hai sollevato all'inizio.

[antonello palermo]

a proposito di limitatezza in C.
E' vero che su C non e' definita alcuna relazione di ordine che sia conforme agli assiomi algebrici di campo e cio' rende impossibile confrontare fra loro due complessi,ma la nozione di insieme e di successione limitata su C come del resto sullo spazio euclideo Rn si dà prescindendo dall'ordinamento e considerando limitato un insieme se esiste una palla con centro nell'origine del riferimento che contenga interamente i punti del medesimo (altrimenti detto se esiste un maggiorante del modulo o norma di ogni elemento dell'insieme considerato). Se si considera che C e' isomorfo a R2 è immediato estendervi il risultato del teorema di Heine Borel. Per Cn ci si deve ragionare un po' ma forse si puo' ancora sfruttare una nozione di siomorfismo che lo riconduca al caso Rn su cui vale sicuramente l'equivalenza delle due definizioni di insieme compatto.

[Fioravante Patrone1]

"antonello palermo":a proposito di limitatezza in C.
E' vero che su C non e' definita alcuna relazione di ordine che sia conforme agli assiomi algebrici di campo e cio' rende impossibile confrontare fra loro due complessi,ma la nozione di insieme e di successione limitata su C come del resto sullo spazio euclideo Rn si dà prescindendo dall'ordinamento e considerando limitato un insieme se esiste una palla con centro nell'origine del riferimento che contenga interamente i punti del medesimo (altrimenti detto se esiste un maggiorante del modulo o norma di ogni elemento dell'insieme considerato). Se si considera che C e' isomorfo a R2 è immediato estendervi il risultato del teorema di Heine Borel. Per Cn ci si deve ragionare un po' ma forse si puo' ancora sfruttare una nozione di siomorfismo che lo riconduca al caso Rn su cui vale sicuramente l'equivalenza delle due definizioni di insieme compatto.

Ehm...
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