Definizione di insieme compatto
Ho preso dal mio quaderno degli appunti, tutto quello che ho trovato a riguardo, perchè è l'unico argomento di cui il marcellini-sbordone non tratta.
Spero in una supervisione di dissonance
Definizione di insieme compatto.
Un insieme è compatto se è chiuso e limitato.
Esempio:
$[0;1]$ insieme chiuso e limitato, dunque compatto in $RR$
$[0;1)$ $U$ $(1;2]$ non è chiuso, il difetto è $1$ che è un punto di accumulazione
$[0;1]$ $U$ $[1;3]$ unione di due chiusi, è ancora un chiuso
- - - - - - - - - -
Detto $X$ un sottoinsieme di $RR$ si scrive che:
$X$ è incluso in $RR$ , e dove $X$ è compatto per le successioni.
Se ogni successione di punti di $X$ ha una estratta convergente a un punto di $X$.
In formule:
per ogni $(x_n)$ con $n$ appartenente a $N$, $x_n$ appartenente a $X$, allora esiste un $x_(k_n)$ convergente ad un punto dell'insieme $X$ ovvero: $x_(k_n)->x_0$
- - - - - - - - - -
Dimostrazione:
$H.p$
$X$ incluso in $RR$
$X$ compatto
$T.h$
1)$X$ chiuso $[X>=D_r(x)]$
2)$X$ limitato
dimostrazione 1)
$x_0$ appartenente a $D_r(x)$ $->$ $X_0$ appartiene a $X$
$x_0=lim_(n->+oo)X_n$
esiste una estratta $x_(k_n)$ che converge a $x_0$
Dunque $x_0$ stsa nell'insieme cioè: $X_0$ appartiene a $X$ ed $X$ è un insieme chiuso.
dimostrazione 2)
supponiamo che $X$ non sia limitato superiormente:
per ogni $M>0$, esiste un $x$ appartenente ad $X$ tale che $x>M$
per ogni $n$ appartenente ad $N$, esiste un $x_n$ appartenente ad $X$ tale che $x_n>n$
la successione $(x_n)->+oo$ è divergente
dove $+oo$ è punto di accumulazione per l'insieme.
Dunque è un insieme non limitato superiormente
L'estratta convergente non c'è, e la successione è divergente.
Ma non può essere non-limitato
Lo so, è un gran casino, vorrei rimettere questi appunti a posto, ma non saprei come fare.
Grazie.
Spero in una supervisione di dissonance
Definizione di insieme compatto.
Un insieme è compatto se è chiuso e limitato.
Esempio:
$[0;1]$ insieme chiuso e limitato, dunque compatto in $RR$
$[0;1)$ $U$ $(1;2]$ non è chiuso, il difetto è $1$ che è un punto di accumulazione
$[0;1]$ $U$ $[1;3]$ unione di due chiusi, è ancora un chiuso
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Detto $X$ un sottoinsieme di $RR$ si scrive che:
$X$ è incluso in $RR$ , e dove $X$ è compatto per le successioni.
Se ogni successione di punti di $X$ ha una estratta convergente a un punto di $X$.
In formule:
per ogni $(x_n)$ con $n$ appartenente a $N$, $x_n$ appartenente a $X$, allora esiste un $x_(k_n)$ convergente ad un punto dell'insieme $X$ ovvero: $x_(k_n)->x_0$
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Dimostrazione:
$H.p$
$X$ incluso in $RR$
$X$ compatto
$T.h$
1)$X$ chiuso $[X>=D_r(x)]$
2)$X$ limitato
dimostrazione 1)
$x_0$ appartenente a $D_r(x)$ $->$ $X_0$ appartiene a $X$
$x_0=lim_(n->+oo)X_n$
esiste una estratta $x_(k_n)$ che converge a $x_0$
Dunque $x_0$ stsa nell'insieme cioè: $X_0$ appartiene a $X$ ed $X$ è un insieme chiuso.
dimostrazione 2)
supponiamo che $X$ non sia limitato superiormente:
per ogni $M>0$, esiste un $x$ appartenente ad $X$ tale che $x>M$
per ogni $n$ appartenente ad $N$, esiste un $x_n$ appartenente ad $X$ tale che $x_n>n$
la successione $(x_n)->+oo$ è divergente
dove $+oo$ è punto di accumulazione per l'insieme.
Dunque è un insieme non limitato superiormente
L'estratta convergente non c'è, e la successione è divergente.
Ma non può essere non-limitato
Lo so, è un gran casino, vorrei rimettere questi appunti a posto, ma non saprei come fare.
Grazie.
Risposte
Sono argomenti trattati in un qualsiasi libro decente di analisi I.
Ti avviso che la tua definizione di compatto funziona solo per sottoinsiemi di $RR^n$; infatti, in topologia si dà un'altra definizione di spazio compatto e si dimostra (Teorema di Heine-Borel) che per i sottoinsiemi di $RR^n$ essere compatti equivale a essere chiusi e limitati.
Veniamo ai tuoi appunti:
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto" se è chiuso e limitato.
(Spero tu sappia cosa significhi chiuso e cosa significhi limitato)
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto per successioni" o "sequenzialmente compatto" se da ogni successione a valori in $X$ si può estrarre una sottosuccessione convergente a un punto di $X$, ovvero:
per ogni successione $(x_n) \subseteq X$, esiste $(x_{n_k})$ sottosuccessione di $(x_n)$ tale che $\lim_{k -> oo} x_{n_k} = x \in X$.
Teorema: Sia $X \subseteq RR$. Allora $X$ è compatto $\Leftrightarrow$ $X$ è compatto per successioni.
Dim: $Leftarrow$: devo provare che se $X$ è compatto per successioni allora è compatto, ossia chiuso e limitato.
$X$ è chiuso: basta provare che $X$ contiene ogni punto della sua chiusura. Sia $y \in \bar{X}$ un punto fissato della chiusura di $X$. Allora poiché $y$ è aderente a $X$, esiste una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ che tende a $y$. Ma poiché $X$ è compatto, questa successione ammette una sottosuccessione $(x_{n_k})$ che converge a un punto $z$ di $X$. Ma $(x_{n_k})$, essendo sottosuccessione della successione convergente $(x_n)$, converge allo stesso limite di $(x_n)$; perciò $y=z \in X$. Per l'arbitrarietà di $y \in \bar{X}$, ho che $X$ è chiuso.
$X$ è limitato: supponiamo per assurdo che $X$ sia illimitato. Esso sarà illimitato superiormente o inferiormente. Supponiamo che sia illimitato superiormente (il caso in cui sia illimitato inferiormente è totalmente analogo), allora $\nexists M : \forall x \in X, x < M$ ossia $\forall M, \exists x \in X : x \geq M$. Allora $\forall n \in NN, \exists x_n \in X : x_n \geq n$. Ho quindi costruito una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ tale che $\forall n \in NN, x_n \geq n$. Allora per il teorema del confronto, la successione $(x_n)$ diverge a $+ oo$, quindi ogni sua sottosuccessione diverge a $+oo$; perciò $(x_n)$ non ammette nessuna sottosuccessione convergente, e questo è assurdo perché nega l'ipotesi che $X$ sia compatto per successioni.
$Rightarrow$: in quello che hai scritto non c'è, ma è vera anche questa implicazione.
Ti avviso che la tua definizione di compatto funziona solo per sottoinsiemi di $RR^n$; infatti, in topologia si dà un'altra definizione di spazio compatto e si dimostra (Teorema di Heine-Borel) che per i sottoinsiemi di $RR^n$ essere compatti equivale a essere chiusi e limitati.
Veniamo ai tuoi appunti:
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto" se è chiuso e limitato.
(Spero tu sappia cosa significhi chiuso e cosa significhi limitato)
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto per successioni" o "sequenzialmente compatto" se da ogni successione a valori in $X$ si può estrarre una sottosuccessione convergente a un punto di $X$, ovvero:
per ogni successione $(x_n) \subseteq X$, esiste $(x_{n_k})$ sottosuccessione di $(x_n)$ tale che $\lim_{k -> oo} x_{n_k} = x \in X$.
Teorema: Sia $X \subseteq RR$. Allora $X$ è compatto $\Leftrightarrow$ $X$ è compatto per successioni.
Dim: $Leftarrow$: devo provare che se $X$ è compatto per successioni allora è compatto, ossia chiuso e limitato.
$X$ è chiuso: basta provare che $X$ contiene ogni punto della sua chiusura. Sia $y \in \bar{X}$ un punto fissato della chiusura di $X$. Allora poiché $y$ è aderente a $X$, esiste una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ che tende a $y$. Ma poiché $X$ è compatto, questa successione ammette una sottosuccessione $(x_{n_k})$ che converge a un punto $z$ di $X$. Ma $(x_{n_k})$, essendo sottosuccessione della successione convergente $(x_n)$, converge allo stesso limite di $(x_n)$; perciò $y=z \in X$. Per l'arbitrarietà di $y \in \bar{X}$, ho che $X$ è chiuso.
$X$ è limitato: supponiamo per assurdo che $X$ sia illimitato. Esso sarà illimitato superiormente o inferiormente. Supponiamo che sia illimitato superiormente (il caso in cui sia illimitato inferiormente è totalmente analogo), allora $\nexists M : \forall x \in X, x < M$ ossia $\forall M, \exists x \in X : x \geq M$. Allora $\forall n \in NN, \exists x_n \in X : x_n \geq n$. Ho quindi costruito una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ tale che $\forall n \in NN, x_n \geq n$. Allora per il teorema del confronto, la successione $(x_n)$ diverge a $+ oo$, quindi ogni sua sottosuccessione diverge a $+oo$; perciò $(x_n)$ non ammette nessuna sottosuccessione convergente, e questo è assurdo perché nega l'ipotesi che $X$ sia compatto per successioni.
$Rightarrow$: in quello che hai scritto non c'è, ma è vera anche questa implicazione.
Clever, il professore non ti può mai aver detto che un insieme è compatto quando è chiuso e limitato, è chiaro che poi puoi trovare esempi in cui dovendo i compatti soddisfare altre proprietà, quest'ultime non ti risultano.
Quindi, in generale, in uno spazio metrico, non riuscirai mai a dimostrare che un insieme quando è chiuso e limitato allora è compatto.
Considera come spazio metrico i reali positivi, e questo insieme $(0,a]$ con $a>0$, esso è chiuso e limitato, prova a dimostrare che è compatto per successioni.
Knight se definisci i compatti come hai fatto(giustamente, anche se io preferisco l'altra), che necessità hai di dimostrare l'implicazione che hai dimostrato. E' l'altra che andrebbe provata.
E poi nessuna dimostrazione può arrivare a dire che, in generale, un insieme è compatto in quanto chiuso e limitato, a meno di non dare una definizione di insieme compatto personale ma diversa da quella tradizionale.
Quindi, in generale, in uno spazio metrico, non riuscirai mai a dimostrare che un insieme quando è chiuso e limitato allora è compatto.
Considera come spazio metrico i reali positivi, e questo insieme $(0,a]$ con $a>0$, esso è chiuso e limitato, prova a dimostrare che è compatto per successioni.
Knight se definisci i compatti come hai fatto(giustamente, anche se io preferisco l'altra), che necessità hai di dimostrare l'implicazione che hai dimostrato. E' l'altra che andrebbe provata.
E poi nessuna dimostrazione può arrivare a dire che, in generale, un insieme è compatto in quanto chiuso e limitato, a meno di non dare una definizione di insieme compatto personale ma diversa da quella tradizionale.
@regim: Clever parla di compattezza in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], che è uno spazio di Banach di dimensione finita; visto che in tali spazi la "definizione topologica" di compattezza equivale a "limitatezza + chiusura" (teorema di Heine-Borel), non vedo cosa ci sia di male ad introdurre il termine compatto appellandosi a queste ultime due proprietà.
D'altra parte, il corso è quello di Analisi I; la Topologia e gli spazi di Banach sono abbastanza distanti, quindi non c'è nemmeno tanto bisogno di sforzarsi per introdurre una "definizione generale" di insieme compatto, ché rimarrebbe inutilizzata e probabilmente incompresa.
In corsi successivi ci sarà tutto il tempo di mettere a punto la questione compattezza.
@NightKnight:
Perchè in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex] non funziona?
D'altra parte, il corso è quello di Analisi I; la Topologia e gli spazi di Banach sono abbastanza distanti, quindi non c'è nemmeno tanto bisogno di sforzarsi per introdurre una "definizione generale" di insieme compatto, ché rimarrebbe inutilizzata e probabilmente incompresa.
In corsi successivi ci sarà tutto il tempo di mettere a punto la questione compattezza.
@NightKnight:
"NightKnight":
Ti avviso che la tua definizione di compatto funziona solo per sottoinsiemi di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] [...]
Perchè in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex] non funziona?
Sarà l'ora tarda, non avevo letto la premessa di knight. Mi sono subito scandalizzato.
"gugo82":
Perchè in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex] non funziona?
Eh, non so; ci devo pensare...
"NightKnight":
Sono argomenti trattati in un qualsiasi libro decente di analisi I.
Ti avviso che la tua definizione di compatto funziona solo per sottoinsiemi di $RR^n$; infatti, in topologia si dà un'altra definizione di spazio compatto e si dimostra (Teorema di Heine-Borel) che per i sottoinsiemi di $RR^n$ essere compatti equivale a essere chiusi e limitati.
Veniamo ai tuoi appunti:
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto" se è chiuso e limitato.
(Spero tu sappia cosa significhi chiuso e cosa significhi limitato)
Def: $X \subseteq RR$ si dice "compatto per successioni" o "sequenzialmente compatto" se da ogni successione a valori in $X$ si può estrarre una sottosuccessione convergente a un punto di $X$, ovvero:
per ogni successione $(x_n) \subseteq X$, esiste $(x_{n_k})$ sottosuccessione di $(x_n)$ tale che $\lim_{k -> oo} x_{n_k} = x \in X$.
Teorema: Sia $X \subseteq RR$. Allora $X$ è compatto $\Leftrightarrow$ $X$ è compatto per successioni.
Dim: $Leftarrow$: devo provare che se $X$ è compatto per successioni allora è compatto, ossia chiuso e limitato.
$X$ è chiuso: basta provare che $X$ contiene ogni punto della sua chiusura. Sia $y \in \bar{X}$ un punto fissato della chiusura di $X$. Allora poiché $y$ è aderente a $X$, esiste una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ che tende a $y$. Ma poiché $X$ è compatto, questa successione ammette una sottosuccessione $(x_{n_k})$ che converge a un punto $z$ di $X$. Ma $(x_{n_k})$, essendo sottosuccessione della successione convergente $(x_n)$, converge allo stesso limite di $(x_n)$; perciò $y=z \in X$. Per l'arbitrarietà di $y \in \bar{X}$, ho che $X$ è chiuso.
$X$ è limitato: supponiamo per assurdo che $X$ sia illimitato. Esso sarà illimitato superiormente o inferiormente. Supponiamo che sia illimitato superiormente (il caso in cui sia illimitato inferiormente è totalmente analogo), allora $\nexists M : \forall x \in X, x < M$ ossia $\forall M, \exists x \in X : x \geq M$. Allora $\forall n \in NN, \exists x_n \in X : x_n \geq n$. Ho quindi costruito una successione $(x_n) \subseteq X$ a valori in $X$ tale che $\forall n \in NN, x_n \geq n$. Allora per il teorema del confronto, la successione $(x_n)$ diverge a $+ oo$, quindi ogni sua sottosuccessione diverge a $+oo$; perciò $(x_n)$ non ammette nessuna sottosuccessione convergente, e questo è assurdo perché nega l'ipotesi che $X$ sia compatto per successioni.
$Rightarrow$: in quello che hai scritto non c'è, ma è vera anche questa implicazione.
Nel marcellini-sbordone non parla proprio di compattezza, topologia non l'ho mai trattata nel mio corso di analisi 1, dunque non so cosa sia al momento. Credo che mi hai messo apposto gli appunti, studierò da questi che mi hai ricostruito
Grazie mille a tutti.
@Clever, dalla definizione canonica di insieme compatto valida negli spazi metrici, senza necessità di ulteriori astrazioni come il caso degli spazi topologici, tanto la definizione è identica, ne trarrai notevole giovamento, perchè molti teoremi sono di gran lunga più facili a dimostrare in situazione di maggiore generalità che scendendo nel caso concreto, come può essere uno sapzio euclideo ad esempio.
Sono d'accordo con Gugo circa la non stretta necessità, almeno ad un primo approccio, ma io sono del parere che non è uno sforzo notevole, e il giovamento è assicurato. Del resto in molti testi di analisi 1 quest'ultimo approccio è quello utilizzato. Poi sta a te la scelta.
Tieni conto che già solo considerando un sottospazio metrico dei numeri reali come quello dell'esempio da me proposto sopra, quella definizione è in contrasto con le proprietà dei compatti, e quindi devi avere ben chiaro dove è possibile utilizzarla e dove no.
Sono d'accordo con Gugo circa la non stretta necessità, almeno ad un primo approccio, ma io sono del parere che non è uno sforzo notevole, e il giovamento è assicurato. Del resto in molti testi di analisi 1 quest'ultimo approccio è quello utilizzato. Poi sta a te la scelta.
Tieni conto che già solo considerando un sottospazio metrico dei numeri reali come quello dell'esempio da me proposto sopra, quella definizione è in contrasto con le proprietà dei compatti, e quindi devi avere ben chiaro dove è possibile utilizzarla e dove no.
"NightKnight":
[quote="gugo82"]Perchè in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex] non funziona?
Eh, non so; ci devo pensare... :rolleyes: :rolleyes:[/quote]
Credo che sia proprio perhè il campo dei Complessi non è ordinato e quindi come faccio a confrontare 2 numeri complessi nella definizione della limitatezza?
Fatemi sapere.
Infatti devi usare il modulo. Diremo che un sottoinsieme $A$ del piano complesso è limitato se esiste un numero positivo $M$ tale che $|z|\le M$ per ogni $z \in A$. Se $A$ è contenuto nella retta reale questa definizione si riduce a quella a cui ti stai riferendo tu (che fa uso dei concetti di sup e di inf, immagino).
Oltre quanto dice dissonance, una relazione d'ordine non e' che ti permette di arrivare ad una definizione quale e' quella di limitatezza di un insieme che invece presuppone una metrica.
quiondi la mia risposta è sbagliata riguardo alla non confrontabilità fra 2 complessi, per la compattezza?
La compattezza presuppone una topologia. La limitatezza presuppone una topologia metrica, e comunque la limitatezza non e' un concetto topologico, ad esempio ogni topologia metrica e' identica a quella della sua versione limitata, nella prima hai insiemi limitati e non, nella seconda sono tutti limitati. Se vuoi una topologia ordinata, puoi immaginare quella detta del dizionario, allora anche li' la nozione di compattezza ha un senso, ma non puoi stabilire una definizione di insieme limitato nel senso usuale.
topologia metrica intendi uno spazio metrico reale V°n(K)?
Intendo una spazio in cui puoi definire una funzione distanza tra due "punti" che abbia le ben note proprieta', e partire da cui puoi determinare una base per la topologia, quindi la nozione di aperto, quindi la nozione di compattezza, la limitatezza e' un optional.
cioè quello che ho scritto io...
"ANDREAHF":
cioè quello che ho scritto io...
NO
è inutile che mi dite no dovete spiegare il motivo...
"ANDREAHF":
è inutile che mi dite no dovete spiegare il motivo...
NO
"Fioravante Patrone":
[quote="ANDREAHF"]è inutile che mi dite no dovete spiegare il motivo...
NO[/quote]
non vuole spiegarmi il motivo?
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