Definizione di insieme compatto

[xxxnuccio88-votailprof]

Ciao, non riesco a capire la definizione di insieme compatto in R^n. In particolare non mi è chiaro come si estragga una sottosuccessione da una successione. Magari con un esempio pratico riesco ad afferrare meglio il concetto. Non ho molta dimestichezza con le successioni vettoriali!

[sméagol1]

Dalla successione \(0,1,0,1,...\) estraggo gli elementi pari quindi \(1,1,...\). Scelgo quindi a piacere ed in modo ordinato elementi della successione originaria in modo da ottenere una nuova successione. Se considero lo spazio topolgico \([0,1]\subset \mathbb{R}\) la definizione di sequenziale compattezza vuole che da ogni successione di elementi di \([0,1]\) se ne possa estrarre una convergente.

In \(\mathbb{R}\) dovrebbe essere equivalente alla solita, vedi ad esempio il Munkres. Comunque sia, nella pratica non ti è richiesto di estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione di elementi di \([0,1]\) , la si usa ad es. come proprietà siccome lo spazio \([0,1]\) è compatto dalla sua successione \(a_{k}\) ne posso estrarre una convergente, etc... per provare altre cose.