Definizione di gradiente
ciao a tutti 
,
data questa definizione di gradiente:
1. Gradiente
Se Ω⊆Rn è un aperto non vuoto ed f:Ω→R è una funzione differenziabile,
allora il gradiente di f è il campo vettoriale ∇f:Ω→Rn definito da
∇f:=(∂f∂x1,…,∂f∂xn).
La direzione ∇f è l'orientazione in cui cui la derivata direzionale ha il valore più grande
e |∇f| il valore di tale derivata direzionale. Inoltre, se ∇f≠0, allora il gradiente è
perpendicolare alla curva di livello attraverso (x∗1,x∗2) se x3=f(x1,x2) e perpen-
dicolare alla superficie piana attraverso (x∗1,x∗2,x∗3) se f(x1,x2,x3)=0.
non ho ben chiaro quanto evidenziato.. grazie:)
,data questa definizione di gradiente:
1. Gradiente
Se Ω⊆Rn è un aperto non vuoto ed f:Ω→R è una funzione differenziabile,
allora il gradiente di f è il campo vettoriale ∇f:Ω→Rn definito da
∇f:=(∂f∂x1,…,∂f∂xn).
La direzione ∇f è l'orientazione in cui cui la derivata direzionale ha il valore più grande
e |∇f| il valore di tale derivata direzionale. Inoltre, se ∇f≠0, allora il gradiente è
perpendicolare alla curva di livello attraverso (x∗1,x∗2) se x3=f(x1,x2) e perpen-
dicolare alla superficie piana attraverso (x∗1,x∗2,x∗3) se f(x1,x2,x3)=0.
non ho ben chiaro quanto evidenziato.. grazie:)
Risposte
Le righe che hai sottolineato dicono semplicemente che il gradiente \(\nabla f\) è perpendicolare all'insieme di livello \(f(\mathbf{x}) = c\) che, se la funzione è abbastanza regolare, sarà un'iper-superficie (per $n=2$ una curva, $n=3$ superficie, etc).
Intuitivamente il gradiente rappresenta la direzione di massima crescita mentre, localmente, lo spazio tangente a un'ipersuperficie di livello, rappresenta direzioni a crescita nulla (funzione costante). Il gradiente quindi dev'essere perpendicolare a tale spazio tangente.
La dimostrazione è molto corta e semplice. Guarda ad esempio qui: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... tes_19.pdf
Oppure, restando nel caso generale: http://math.stackexchange.com/a/79007/45731
Intuitivamente il gradiente rappresenta la direzione di massima crescita mentre, localmente, lo spazio tangente a un'ipersuperficie di livello, rappresenta direzioni a crescita nulla (funzione costante). Il gradiente quindi dev'essere perpendicolare a tale spazio tangente.
La dimostrazione è molto corta e semplice. Guarda ad esempio qui: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... tes_19.pdf
Oppure, restando nel caso generale: http://math.stackexchange.com/a/79007/45731
grazie per la risposta
ho una domanda: nella dimostrazione che mi hai suggerito il differenziale totale della g presso l'insieme di livello è posto uguale a 0 in quanto la variazione della f nella direzione della tg all'insieme di livello stesso è nulla?
ho una domanda: nella dimostrazione che mi hai suggerito il differenziale totale della g presso l'insieme di livello è posto uguale a 0 in quanto la variazione della f nella direzione della tg all'insieme di livello stesso è nulla?
Molto più semplicemente stai derivando l'equazione \(f(\mathbf{r}(t)) = \mathbf{c}\):
\[\nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{\dot{r}}(t) = \frac{d \mathbf{c}}{dt} = 0\]
Dato che \(\mathbf{c}\) è costante
\[\nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{\dot{r}}(t) = \frac{d \mathbf{c}}{dt} = 0\]
Dato che \(\mathbf{c}\) è costante
quindi la derivata di una f vettoriale è uguale al prodotto vettoriale del gradiente per la derivata prima delle componenti del vettore rispetto al parametro, in questo caso t?
Sì, non è altro che la chain rule in dimensione \(n\)
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