Definizione di funzione semplice: dubbio

salvozungri
Ciao a tutti
Sui miei appunti ho la definizione di funzione semplice che recita così:

Si dice che [tex]s: X\to \mathbb{R}[/tex] è semplice se ammette un numero finito di valori [tex]\alpha_1, \alpha_2,...\alpha_n \in \mathbb{R}[/tex] e se [tex]A_k = \left\{x\in X :s(x)= \alpha_k\right\}\subset\mathcal{A}[/tex]
[tex]\displaystyle s(x)= \sum_{i=1}^n \alpha_i \phi_{A_i}(x)[/tex]
dove con [tex]\phi_{A_i}(x)[/tex] indichiamo la funzione caratteristica dell'insieme [tex]A_i[/tex]



In un altro corso che trattava comunque questo argomento, mi ricordo che [tex]\displaystyle \bigcup_{k=1}^n A_k = X[/tex] e gli insiemi [tex]A_k[/tex] erano a due a due disgiunti.

Adesso mi è sorto un dubbio: Quale delle due definizioni è corretta?

Grazie :)

Risposte
dissonance
E' la stessa cosa, nel senso che prendendo una delle due definizioni ti puoi ricondurre all'altra. Se hai tempo da perdere puoi farlo per esercizio, usando il fatto che le operazioni di unione, intersezione e complementazione mandano misurabili in misurabili. Oppure, se la vuoi buttare proprio sul rigoroso, usa la definizione seguente:

una funzione [tex]f \colon X \to \mathbb{R}[/tex], dove [tex]X[/tex] è un insieme, si dice semplice se assume un numero finito di valori.
E' chiaro che se una funzione è semplice, detti [tex]c_1 \dots c_n[/tex] i valori da essa assunti e detti [tex]A_1= f ^{-1}(c_1) \dots A_n=f^{-1}(c_n)[/tex], risulta che [tex]\displaystyle f(x)= \sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i}(x)[/tex]. Osserviamo che gli [tex]A_i[/tex] sono 2-2 disgiunti.
Infine, se [tex]X[/tex] è uno spazio di misura, richiediamo anche che [tex]f[/tex] sia misurabile, il che equivale (stupore) a richiedere che siano misurabili gli [tex]A_i[/tex].

Vabbé. Sono questioni spaventosamente inutili, all'atto pratico.

salvozungri
Ciò che non mi convince è il fatto che le costanti $a_k$ dovrebbero essere distinti, mentre nei miei appunti tutto tace :? mah... Ad ogni modo quella che tu hai scritto è la definizione che conoscevo... Quella che ho sui miei appunti invece sembra mozzata.

E per quanto riguarda gli insiemi $A_k$? Sono una partizione di $X$ right? Grazie mille :)

dissonance
Sì, nella definizione che conosci (ovvero quella del mio post precedente) le costanti sono distinte e quindi gli $A_i$ sono disgiunti. Inoltre formano una partizione di $X$. Questo torna comodo per definire l'integrale, che si può fare direttamente come $int f(x)= sumc_i mu(A_i)$. Con la definizione del tuo primo post, prima di definire l'integrale c'è da smanettare un po'.

salvozungri
Ok, tutto chiaro, grazie dissonance! Buona serata! :D

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