Definizione di funzione misurabile (Spazi Topologici e Misurabili)
Cari ragazzi,
Eccomi qua con qualche curiosità inerenti la teoria della misura. Premetto che sto seguendo un corso di probabilità che tratta anche di misura, ma non solo. Quindi non padroneggio benissimo tali argomenti.
Vi riporto di seguito due definizioni di funzione misurabile:
Aggiungo anche questo teorema:
Alcune considerazioni preliminari:
Eccomi qua con qualche curiosità inerenti la teoria della misura. Premetto che sto seguendo un corso di probabilità che tratta anche di misura, ma non solo. Quindi non padroneggio benissimo tali argomenti.
Vi riporto di seguito due definizioni di funzione misurabile:
Definizione[nota]Jacod, Protter - "Probability Essentials", 2nd[/nota]. Siano \((\Omega,\mathcal{A})\) e \((\Sigma,\mathcal{F})\) due spazi misurabili. Una funzione \(f: \Omega \to \Sigma\) si dice \((\mathcal{A},\mathcal{F})\)-misurabile, o semplicemente misurabile, se:\[f^{-1}(F) \in \mathcal{A} \ \ \ \ \ \ \forall \ F\in \mathcal{F}\]
Definizione[nota]Rudin - "Real and Complex Analysis", 3rd[/nota]. Siano \((\Omega,\mathcal{A})\) uno spazio misurabile e \((X,\tau)\) uno spazio topologico. Una funzione \(f: \Omega \to X\) si dice misurabile se:\[f^{-1}(B) \in \mathcal{A} \ \ \ \ \ \ \forall \ B\in \tau\]
Aggiungo anche questo teorema:
Teorema 1. Siano \((\Omega,\mathcal{A})\) e \((\Sigma,\mathcal{F})\) due spazi misurabili e sia \(\mathcal{C}\) una classe di sottoinsiemi di $\Sigma$ (ovvero \(\mathcal{C} \in 2^\Sigma\)) tale che \(\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{C})\). Affinché una funzione \(f: \Omega \to \Sigma\) sia \((\mathcal{A},\mathcal{F})\)-misurabile è necessario e sufficiente che: \( f^{-1}(\mathcal{C}) \in \mathcal{A}\)
Alcune considerazioni preliminari:
[*:29jsgn5l]Dato che le funzioni misurabili sono definite, in un contesto più astratto, come i morfismi tra gli spazi misurabili, la prima definizione mi sembra quella più naturale e logica.[/*:m:29jsgn5l]
[*:29jsgn5l]In qualche modo il teorema collega le due definizioni (ponendo \(\mathcal{C} = \tau\)) mostrando che se la funzione è misurabile nel senso della seconda definizione, allora è misurabile anche secondo la prima.[/*:m:29jsgn5l][/list:u:29jsgn5l]
So bene che si sta disquisendo di lana caprina ma credo che interrogarsi e capire a fondo le diverse definizioni e i diversi punti di vista possa servire a creare una miglior comprensione degli argomenti.
Ecco dunque alcune domande:
[list=1]
[*:29jsgn5l]La prima definizione mi sembra sia quella più in voga nei trattati di teoria della misura. Sbaglio?[/*:m:29jsgn5l]
[*:29jsgn5l]Come mai, secondo voi, Rudin da questa definizione specifica per gli spazi topologici?[/*:m:29jsgn5l]
[*:29jsgn5l]Facilmente si può generare una \(\sigma\)-algebra dalla topologia, il processo inverso, ovvero da spazio misurabile a spazio topologico è di qualche utilità? Sotto quali condizioni si può dotare uno spazio misurabile di una topologia? Ad occhio direi che non c'è nessun "appiglio" per individuare una collezione di aperti $\tau$.[/*:m:29jsgn5l]
[*:29jsgn5l]Una questione collegata: ingenuamente, non ci ho ancora riflettuto seriamente, mi è strano che nella definizione di funzione misurabile, così come nella definizione di funzione continua tra spazi topologici, (che sono due esempi di morfismi) il ruolo centrale è giocato dalla controimmagine $f^{-1}$ e non dall'immagine $f$. Questa cosa un pochino mi disturba
... Vorrei capire bene il perchè di questo.[/*:m:29jsgn5l][/list:o:29jsgn5l]Tutti i commenti/opinioni/correzioni sono ben accetti.
Cordiali saluti
Risposte
DIrei che il Rudin tratta il caso particolare in cui nello spazio topologico $(X;\tau)$ si considera la sigma algebra $\mathcal{B}$ dei Boreliani, cioè $\sigma(\tau)$. In effetti il teorema che dici dimostra proprio che, una funzione
$f:\Omega\toX$ è misurabile nel senso 1, se si considerano le sigma algebre $\mathcal{F}$ su $\Omega$ e $\mathcal{B}$
su $X$, se e solo se la controimmagine di ogni aperto è misurabile (se $\mathcal{B}$ è generata dagli aperti, basta guardare le controimmagini degli aperti).
Perché il Rudin fa così? Beh la sigma algebra dei boreliani è piuttosto importante e direi naturale nel caso degli spazi topologici ed è chiaro che lo sia se si vuole confrontare la nozione di misurabilità con quella di continuità.
Perché poi si usano le controimmagini e non le immagini. Francamente mi pare che l'unica risposta sia (ma aspetto che qualcun altro dica la sua) "perchè così funziona" e nell'altro modo no
.
$f:\Omega\toX$ è misurabile nel senso 1, se si considerano le sigma algebre $\mathcal{F}$ su $\Omega$ e $\mathcal{B}$
su $X$, se e solo se la controimmagine di ogni aperto è misurabile (se $\mathcal{B}$ è generata dagli aperti, basta guardare le controimmagini degli aperti).
Perché il Rudin fa così? Beh la sigma algebra dei boreliani è piuttosto importante e direi naturale nel caso degli spazi topologici ed è chiaro che lo sia se si vuole confrontare la nozione di misurabilità con quella di continuità.
Perché poi si usano le controimmagini e non le immagini. Francamente mi pare che l'unica risposta sia (ma aspetto che qualcun altro dica la sua) "perchè così funziona" e nell'altro modo no
.
Ti ringrazio innanzi tutto per la risposta. Di sicuro le $\sigma$-algebre boreliane sono di estrema importanza in Analisi, ma sai, non essendo certo Rudin uno che semplifica al massimo la vita del lettore mi è sembrato strano che dia questa definizione di funzione misurabile.
Sì, in effetti quella domanda mi è sorta mentre scrivevo e l'ho buttata giù senza pensarci. Più che altro è una domanda a cui devo trovare la mia risposta ragionandoci su e facendo le prove del caso. Si riconduce tutto alle magiche proprietà di cui gode la controimmagine. Ci penserò su e, al limite, se non mi sarà chiaro, aprirò un altro thread specifico.
--------
Rimane aperta la questione n. 3 sulle relazioni tra spazi misurabili e topologici e, rispettivamente, tra funzioni misurabili e funzioni continue. Cerco di contestualizzare meglio la domanda dilungandomi in un breve riassunto.
Sappiamo che dato uno spazio topologico \((X,\tau)\) è possibile costruire con facilità una $\sigma$-algebra \(\mathcal{B}_{X}\), detta boreliana (o di Borel), generata dalla topologia $\tau$, ovvero \(\mathcal{B}_{X} = \sigma (\tau)\), andando a costruire così uno spazio misurabile \((X,\mathcal{B}_{X})\).
Inoltre, una funzione continua tra due spazi topologici \((X,\tau_1)\) e \((Y,\tau_2)\), è \((\mathcal{B}_{X},\mathcal{B}_{Y})\)-misurabile.
Le domande che mi faccio sono:
[list=1]
[*:28nfdddo]Data una funzione (non necessariamente continua) tra due spazi topologici \((X,\tau_1)\) e \((Y,\tau_2)\) che sia \((\mathcal{B}_{X},\mathcal{B}_{Y})\)-misurabile, posso concludere che essa è continua?
[/*:m:28nfdddo]
[*:28nfdddo]Dato uno spazio misurabile \((\Omega,\mathcal{A})\), è possibile, con relativa facilità, dotare $\Omega$ di una topologia "indotta" in qualche modo dalla $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\)? Ovvero, l'operazione di costruzione di uno spazio topologico, e quindi l'individuazione di una topologia, a partire da un insieme $X$ è agevolata dal fatto che su $X$ è definita una $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\)? Io credo che la risposta sia no. Non è possibile in qualche modo "indurre" una topologia da una $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\) anche perché le $\sigma$-algebre sono "oggetti" molto grandi e quindi non danno indicazioni su quale base selezionare per la topologia. Vi pare sensata come risposta?[/*:m:28nfdddo][/list:o:28nfdddo]
Mi scuso per la prolissità, vi ringrazio ancora per le eventuali risposte
"ViciousGoblin":
Perché poi si usano le controimmagini e non le immagini. Francamente mi pare che l'unica risposta sia (ma aspetto che qualcun altro dica la sua) "perchè così funziona" e nell'altro modo no
Sì, in effetti quella domanda mi è sorta mentre scrivevo e l'ho buttata giù senza pensarci. Più che altro è una domanda a cui devo trovare la mia risposta ragionandoci su e facendo le prove del caso. Si riconduce tutto alle magiche proprietà di cui gode la controimmagine. Ci penserò su e, al limite, se non mi sarà chiaro, aprirò un altro thread specifico.
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Rimane aperta la questione n. 3 sulle relazioni tra spazi misurabili e topologici e, rispettivamente, tra funzioni misurabili e funzioni continue. Cerco di contestualizzare meglio la domanda dilungandomi in un breve riassunto.
Sappiamo che dato uno spazio topologico \((X,\tau)\) è possibile costruire con facilità una $\sigma$-algebra \(\mathcal{B}_{X}\), detta boreliana (o di Borel), generata dalla topologia $\tau$, ovvero \(\mathcal{B}_{X} = \sigma (\tau)\), andando a costruire così uno spazio misurabile \((X,\mathcal{B}_{X})\).
Inoltre, una funzione continua tra due spazi topologici \((X,\tau_1)\) e \((Y,\tau_2)\), è \((\mathcal{B}_{X},\mathcal{B}_{Y})\)-misurabile.
Le domande che mi faccio sono:
[list=1]
[*:28nfdddo]Data una funzione (non necessariamente continua) tra due spazi topologici \((X,\tau_1)\) e \((Y,\tau_2)\) che sia \((\mathcal{B}_{X},\mathcal{B}_{Y})\)-misurabile, posso concludere che essa è continua?
[/*:m:28nfdddo]
[*:28nfdddo]Dato uno spazio misurabile \((\Omega,\mathcal{A})\), è possibile, con relativa facilità, dotare $\Omega$ di una topologia "indotta" in qualche modo dalla $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\)? Ovvero, l'operazione di costruzione di uno spazio topologico, e quindi l'individuazione di una topologia, a partire da un insieme $X$ è agevolata dal fatto che su $X$ è definita una $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\)? Io credo che la risposta sia no. Non è possibile in qualche modo "indurre" una topologia da una $\sigma$-algebra \(\mathcal{A}\) anche perché le $\sigma$-algebre sono "oggetti" molto grandi e quindi non danno indicazioni su quale base selezionare per la topologia. Vi pare sensata come risposta?[/*:m:28nfdddo][/list:o:28nfdddo]
Mi scuso per la prolissità, vi ringrazio ancora per le eventuali risposte
Si prendono le controimmagini invece che le immagini perché l'integrale di Lebesgue è essenzialmente una somma di termini come questo:
\[
A_j= y_j \cdot \mu\{ x\in [a, b]\ :\ y_{j-1}< f(x)\le y_j\}.\]
(vedi illustrazione dell'integrale di Lebesgue su Wikipedia, la figura rossa: http://en.wikipedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png ). L'insieme a destra è una controimmagine. Inoltre, la misurabilità degli insiemi così fatti è equivalente alla misurabilità nel senso "topologico" che dice Rudin, quando $f$ ha valori reali.
Questa almeno è la risposta che mi sono dato da solo davanti alle stesse questioni poste da Emar.
\[
A_j= y_j \cdot \mu\{ x\in [a, b]\ :\ y_{j-1}< f(x)\le y_j\}.\]
(vedi illustrazione dell'integrale di Lebesgue su Wikipedia, la figura rossa: http://en.wikipedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png ). L'insieme a destra è una controimmagine. Inoltre, la misurabilità degli insiemi così fatti è equivalente alla misurabilità nel senso "topologico" che dice Rudin, quando $f$ ha valori reali.
Questa almeno è la risposta che mi sono dato da solo davanti alle stesse questioni poste da Emar.
Riguardo alla 1 la risposta è sicuramente no. La funzione segno, da $R$ in $R$ ($R$ dotato della topologia usuale) è discontinua ma è
misurabile visto che le possibili controimmagini sono le parti di $\{-1,0.1\}$.
Riguardo al secondo punto c'è da tener presente che data una qualunque famiglia $\mathcal{A}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ si può considerare la topologia $\tau(\mathcal{A})$ generata da $\mathcal{A}$ (la minima topologia che contiene tutti gli insiemi di $\mathcal{A}$). VIene allora da chiedersi se data una $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$ si a vero che $\sigma(\tau(\mathcal{A}))=\mathcal{A}$. Non ne ho idea
- a occhio però direi che è falso (e probabilmente è vero sotto qualche ipotesi di numerabilità).
misurabile visto che le possibili controimmagini sono le parti di $\{-1,0.1\}$.
Riguardo al secondo punto c'è da tener presente che data una qualunque famiglia $\mathcal{A}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ si può considerare la topologia $\tau(\mathcal{A})$ generata da $\mathcal{A}$ (la minima topologia che contiene tutti gli insiemi di $\mathcal{A}$). VIene allora da chiedersi se data una $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$ si a vero che $\sigma(\tau(\mathcal{A}))=\mathcal{A}$. Non ne ho idea
- a occhio però direi che è falso (e probabilmente è vero sotto qualche ipotesi di numerabilità).
Continuazione dal post precedente ...
Riguardo al secondo punto ho l'impressione che l'eguaglianza $\mathcal{A}=\sigma{\tau(\mathcal{A}))}$ implich quasi sempre che
$\mathcal{A}$ coincide con le parti di $\Omega$. Questo è perlomeno il caso se $\mathcal{A}$ contiene i punti, cioè gli insiemi $\{x\}$, per $x\in\Omega$. Se questo è vero $\tau(\mathcal{A})$ contiene ogni parte di $\Omega$ dato che deve contenere le unioni arbitrarie di insiemi di $\mathcal{A}$. Quindi la topologia indotta da $\mathcal{A}$ è quasi sempre la topologia disctreta.
Riguardo al secondo punto ho l'impressione che l'eguaglianza $\mathcal{A}=\sigma{\tau(\mathcal{A}))}$ implich quasi sempre che
$\mathcal{A}$ coincide con le parti di $\Omega$. Questo è perlomeno il caso se $\mathcal{A}$ contiene i punti, cioè gli insiemi $\{x\}$, per $x\in\Omega$. Se questo è vero $\tau(\mathcal{A})$ contiene ogni parte di $\Omega$ dato che deve contenere le unioni arbitrarie di insiemi di $\mathcal{A}$. Quindi la topologia indotta da $\mathcal{A}$ è quasi sempre la topologia disctreta.
"ViciousGoblin":
Riguardo alla 1 la risposta è sicuramente no. La funzione segno, da $R$ in $R$ ($R$ dotato della topologia usuale) è discontinua ma è
misurabile visto che le possibili controimmagini sono le parti di $\{-1,0.1\}$.
In effetti è quello che anche intuitivamente mi aspettavo succedesse, grazie per il controesempio.
"ViciousGoblin":
Continuazione dal post precedente ...
Riguardo al secondo punto ho l'impressione che l'eguaglianza $ \mathcal{A}=\sigma{\tau(\mathcal{A}))} $ implichi quasi sempre che
$ \mathcal{A} $ coincide con le parti di $ \Omega $. Questo è perlomeno il caso se $ \mathcal{A} $ contiene i punti, cioè gli insiemi $ \{x\} $, per $ x\in\Omega $. Se questo è vero $ \tau(\mathcal{A}) $ contiene ogni parte di $ \Omega $ dato che deve contenere le unioni arbitrarie di insiemi di $ \mathcal{A} $. Quindi la topologia indotta da $ \mathcal{A} $ è quasi sempre la topologia disctreta.
Quello che hai scritto è interessante.
Di topologia ne capisco poco e non vorrei addentrarmi troppo in codesta selva oscura
. Non capisco però perchè richiedi che tutti gli elementi della $\sigma$-algebra stiano in $\tau$. Per esempio la topologia indotta dalla metrica euclidea in $RR$ non contiene tutti gli insiemi nella $\sigma$-algebra di Borel \(\mathcal{B}_\mathbb{R} = \sigma (\tau)\)...In ogni caso intuitivamente direi che il fatto di avere una $\sigma$-algebra non è più di tanto d'aiuto nel costruire una topologia "utile".
"dissonance":
Si prendono le controimmagini invece che le immagini perché l'integrale di Lebesgue è essenzialmente una somma di termini come questo...
La cosa che mi incuriosiva è che la controimmagine sia presente in molte definizioni laddove io mi aspetterei, da ignorante, l'utilizzo dell'immagine (vedesi definizione di funzione continua per esempio). Ci devo lavorare un pochino su.
Ti ringrazio per avermi riportato alle realtà con questi fatti sull'integrale di Lebesgue facendomi tornare alla mente che $\sigma$-algebre e compagnia bella sono una potente sovrastruttura astratta ma che sono ben lontane dalla concretezza di tutti i giorni. Sicuramente mi devo leggere un po' costruzione di integrale di Lebesgue artigianale su $RR$ per concretizzare il tutto
Il discorso sulle topologie era molto "da matematico" 
, nel senso che tu chiedevi se da una sigma algebra si riesce a costruire una topologia i io - subito - penso alla minima topologia indotta dalla sigma algebra. Ma quasta nozione sembra veramente poco interessante.
Quello che risponderebbe forse alla tua idea è chiedersi se data una sigma algebra $\mathcal{A}$ esista una topologia $\tau$ tale che
$\mathcal{A}=\sigma(\tau)$. Buio completo a proposito.
, nel senso che tu chiedevi se da una sigma algebra si riesce a costruire una topologia i io - subito - penso alla minima topologia indotta dalla sigma algebra. Ma quasta nozione sembra veramente poco interessante.Quello che risponderebbe forse alla tua idea è chiedersi se data una sigma algebra $\mathcal{A}$ esista una topologia $\tau$ tale che
$\mathcal{A}=\sigma(\tau)$. Buio completo a proposito.
"ViciousGoblin":
Quello che risponderebbe forse alla tua idea è chiedersi se data una sigma algebra $\mathcal{A}$ esista una topologia $\tau$ tale che
$\mathcal{A}=\sigma(\tau)$. Buio completo a proposito.
In effetti è questo in problema, trovare $\sigma ^{-1}(\mathcal{A})$
Ma in ogni caso era una masturbazione matematica, alla fine non credo che porti da qualche parte...
Torno a pensare a cose ben più utili
Ti ringrazio delle risposte, alla prossima!
Immagino possa interessare per completezza questa discussione su math.stackexchange che risponde alla domanda se una \(\sigma\)-algebra si una topologia[nota]La risposta è no e il problema risiede nel fatto che gli aperti sono chiusi per unione arbitraria mentre gli insiemi misurabili solo per unione numerabile.[/nota].
Tra l'altro rispondono implicitamente anche alla vostra domanda. Nel senso che il particolare controesempio è anche un controesempio per la vostra domanda, o per lo meno mi sembra sia così: non ci ho pensato molto.
Tra l'altro rispondono implicitamente anche alla vostra domanda. Nel senso che il particolare controesempio è anche un controesempio per la vostra domanda, o per lo meno mi sembra sia così: non ci ho pensato molto.
Grazie vic85 per il link.
Però non c'é la risposta al problema "forte" di Emar, cioè se ogni $\sigma$ algebra sia l'algebra di Borel per una qualche topologia.
Pensavo a un controesempio utilizzando la sigma algebra $\mathcal{M}$ dei misurabili secondo Lebesgue, che notoriamente sono di più dei boreliani - però come escludere che si possa arricchire la topologia e trovare $\mathcal{M}$ come $\sigma(\tau)$?
EDIT. Ho trovato questa discussione http://mathoverflow.net/questions/87838 ... a-topology
che sembra affrontare proprio il problema in questione. Vado a leggerla.
Però non c'é la risposta al problema "forte" di Emar, cioè se ogni $\sigma$ algebra sia l'algebra di Borel per una qualche topologia.
Pensavo a un controesempio utilizzando la sigma algebra $\mathcal{M}$ dei misurabili secondo Lebesgue, che notoriamente sono di più dei boreliani - però come escludere che si possa arricchire la topologia e trovare $\mathcal{M}$ come $\sigma(\tau)$?
EDIT. Ho trovato questa discussione http://mathoverflow.net/questions/87838 ... a-topology
che sembra affrontare proprio il problema in questione. Vado a leggerla.
"ViciousGoblin":
Pensavo a un controesempio utilizzando la sigma algebra $\mathcal{M}$ dei misurabili secondo Lebesgue, che notoriamente sono di più dei boreliani - però come escludere che si possa arricchire la topologia e trovare $\mathcal{M}$ come $\sigma(\tau)$?
Nella pagina che hai linkato si trova questo link che è esattamente la risposta a quello che ti chiedevi nel precedente post.
Continuo a leggere, è tanto interessante quanto complicato
In effetti già nel primo link c'era la risposta (negativa) alla domanda - risposta basata su argomenti di cardinalità. In sostanza si trova un esempio di sigma algebra $\mathcal{A}$ di sottoinsiemi di $X:=2^R$ ($2^R$ sono le parti di $R$) tali che la cardinalità di $\mathcal{A}$ è pari a quella di $R$, dunque è strettamente minore di quella di $X$. Inoltre $\mathcal{A}$ separa i punti, cioè presi $x_1,x_2\in X$ con $x_1\ne x_2$, esiste $A\in\mathcal{A}$ tale che $x_1\in A$, $x_2\notin A$. Se ne deduce abbastanza facilmente che una qualunque topologia $\tau$ con $\sigma(\tau)=\mathcal{A}$ deve anch'essa separare i punti. Ma se $\tau$ separa i punti $\tau$ ha come minimo la cardinalità di $X$ (per ogni punto $x\in X$ si ha che $\{x\}$ è chiuso e posso allora considerare l'aperto $U_x:=X\setminus\{x\}$), che è strettamente maggiore della cardinalità di $\mathcal{A}$.
Vado a vedere il tuo sub-link che mi pare anche lui interessante.
Comunque complimenti per la curiosità .
Vado a vedere il tuo sub-link che mi pare anche lui interessante.
Comunque complimenti per la curiosità
.
Il fatto che non si possa sempre trovare una topologia che genera la $\sigma$-algebra non mi spaventa, c'era da aspettarselo. Mi ha stupito invece che si possa trovare una topologia che genera la $\sigma$-algebra $\mathcal{L}$ di Lebesgue.
Ti ringrazio per la bella chiacchierata, molto istruttiva. Non pensavo che da quella domanda si arrivasse fino a qui. Che dire, grazie ancora e... alla prossima!
Ciao
Ti ringrazio per la bella chiacchierata, molto istruttiva. Non pensavo che da quella domanda si arrivasse fino a qui. Che dire, grazie ancora e... alla prossima!
Ciao
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