Definizione di funzione analitica

[dissonance]

Di "funzione analitica", riferito a funzioni $Omega\toCC$ con $Omega$ aperto, ho trovato due definizioni che almeno apparentemente mi sembrano parecchio diverse. La prima è questa:
1) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ esiste un disco su cui $f$ coincide con una serie di potenze;

la seconda differisce per quell' "esiste";
2) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ e per ogni disco contenuto in $Omega$ esiste una serie di potenze, convergente almeno su tutto il disco e coincidente con $f$ nello stesso.

Ma sono equivalenti? A me non sembra proprio...

[gugo82]

"dissonance":Di "funzione analitica", riferito a funzioni $Omega\toCC$ con $Omega$ aperto, ho trovato due definizioni che almeno apparentemente mi sembrano parecchio diverse. La prima è questa:
1) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ esiste un disco di centro $z$ contenuto in $Omega$ su cui $f$ coincide con la somma di una serie di potenze;

la seconda differisce per quell' "esiste";
2) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ e per ogni disco di centro $z$ contenuto in $Omega$ esiste una serie di potenze, convergente almeno su tutto il disco la cui somma coincida con $f$ nello stesso.

Ma sono equivalenti? A me non sembra proprio...

Mmm ci devo pensare un po' su.

Ad ogni modo la prima definizione è sicuramente corretta; inoltre si vede che 2) implica 1), quindi 1) è più debole e perciò è più utile.
Credo che per mostrare 1) $=>$ 2) basti far vedere che il raggio di convergenza $rho(z_0)$ dell'elemento analitico di $f$ in un fissato $z_0\in Omega$ (l'elemento analitico di $f$ in $z_0$ è la serie di potenze che rappresenta $f$ intorno a $z_0$) sia non inferiore alla distanza tra $z_0$ e la frontiera di $Omega$, ossia che $rho(z_0)>="dist"(z_0,\partialOmega)$.

[ViciousGoblin]

"dissonance":Di "funzione analitica", riferito a funzioni $Omega\toCC$ con $Omega$ aperto, ho trovato due definizioni che almeno apparentemente mi sembrano parecchio diverse. La prima è questa:
1) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ esiste un disco su cui $f$ coincide con una serie di potenze;

la seconda differisce per quell' "esiste";
2) $f$ è analitica se per ogni $z\inOmega$ e per ogni disco contenuto in $Omega$ esiste una serie di potenze, convergente almeno su tutto il disco e coincidente con $f$ nello stesso.

Ma sono equivalenti? A me non sembra proprio...

Non sono equivalenti a vista ( la 2) e' piu' forte) ma c'e' un teorema che dimosta che lo sono.

Ora provo a ricostruire la dimostrazione.

DOPO UN PO' - Ehhm riesco a farlo solo per le funzioni olomorfe (in cui la $f$ si ricostruisce in base a degli integrali di linea) - sono sicuro pero' che e' vera in generale.

[dissonance]

Va bene, per me al momento la cosa importante è sapere che posso assumere la definizione più debole e poi dormire la notte. (L'altra definizione a dire la verità l'ho trovata solo sul Rudin).
@V.G.E.: Ma se riesci a dimostrare (1)=>(2) per le funzioni olomorfe, non hai finito? Nel senso, se una funzione verifica (1) non è automaticamente olomorfa?

[ViciousGoblin]

"dissonance":Va bene, per me al momento la cosa importante è sapere che posso assumere la definizione più debole e poi dormire la notte. (L'altra definizione a dire la verità l'ho trovata solo sul Rudin).
@V.G.E.: Ma se riesci a dimostrare (1)=>(2) per le funzioni olomorfe, non hai finito? Nel senso, se una funzione verifica (1) non è automaticamente olomorfa?

Credo che tu abbia ragione - chissa' perche' avevo in mente che $f$ fosse definita in $\RR^n$, e poi ----non so bene a cosa stessi pensando! In effetti il caso importante \`e quello delle funzioni olomorfe
e allora (1)->(2) e' un teorema noto (anzi "$f$ derivabile in $\Omega$ ->(2) ), che segue dalla teoria delle funzioni olomorfe.

Grazie per aver preservato il mio di sonno (mi ero messo a cercare una dimostrazione fatta solo in termini di serie di potenze)