Definizione di divergenza, un dubbio

[mat.pasc]

Mi trovo ad affrontare la definizione di divergenza in un corso di fisica e mi ha spiazzato una definizione data in questo modo https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence#Definition tuttavia in analisi i rapporti di divergenza con l'integrale di flusso è dato dal teorema della divergenza e l'ho semprevista come un mero operatore e basta (al massimo con diversi "algoritmi di calcolo cambiando sistema di coordinate cartesiane, sferiche ecc).
Ho cercato in vari files online di università di matematica (analisi II) ma niente trovo sempre l'approccio seguito anche nel mio corso e non l'ho mai vista definita come limite di quel rapporto con l'integrale.

Non capisco quindi se sia un modo "fisico", avreste qualche link o lettura a riguardo
Grazi mille!

[feddy]

Sì, chiaramente ha interpretazioni fisiche. Si dimostra usando un argomento di localizzazione. Lo puoi trovare anche nei testi di analisi più recenti, magari per ingegneri.

[mat.pasc]

"feddy":Sì, chiaramente ha interpretazioni fisiche. Si dimostra usando un argomento di localizzazione. Lo puoi trovare anche nei testi di analisi più recenti, magari per ingegneri.

Grazie per la risposta. Posso chiederti un testo di analisi matematica in cui ne parli in modo approfondito (magari sul giusti o de marco, potrei procurarmeli) con quella formulazione integrale? perché nel testo a me consigliato non ne parla, inoltre ho scaricato varie dispense da vari atenei del cdl in matematica ma non trovo mai la formulazione in quel modo e trovo solo il teorema della divergenza nel capitolo dedicato.

Vorrei proprio la base matematica di quella definizione diciamo, allamaniera dell'analisi, più che fisica-ingegneristica.

[feddy]

Io quello che citi l'ho sempre vista come una conseguenza, che si trova a partire dalla classica definizione della divergenza, unita al teorema di localizzazione che dice $$\Phi(x_0)=\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{B_r(x_0)} \Phi dV$$

Io l'ho visto in corsi tipo fisica-matematica, non ad analisi 2, anche se non mi scandalizzerei se fosse così, visto che non c'è nulla di difficile a dimostrarlo. Sinceramente ora non ho più sottomano il De Marco, non ricordo se lì ci fosse questo fatto.

[feddy]

Per ricavare quel fatto, devi partire dal teorema della divergenza, e applicare a quell'integrale sul volume un argomento di localizzazione usando una palla centrata in $x_0$, nello spirito del teorema che ti ho scritto sopra.

[mat.pasc]

Il problema che non credo di sapere manco cosa sia il teoremadi localizzazione , non l'ho mai sentito.
Devo provare a cercare qualcosa di fisica matematica allora, forse sbagliavo nella ricerca in analisi.

[feddy]

E' quello che ho scritto sopra Lo devi applicare al teorema della divergenza. La dimostrazione è un passaggio, non di più

$\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{\partial B_r(x_0)} \Phi \cdot n ds= \lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{B_r(x_0)} \text{div} \Phi dV =\text{div} \Phi(x_0)$

[mat.pasc]

No certo ma il passaggio è chiaro, il punto che devo sapere a priori questo

"feddy":$$\Phi(x_0)=\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{B_r(x_0)} \Phi dV$$

che in realtà non ho compreso appieno il perché.

[feddy]

E' un teorema, che puoi dimostrare anche facilmente: prendi $I_r =|\Phi(x_0) - \frac{1}{|B_r(x-0)|}\int_{B_r(x_0)} \Phi dV|$ e nota che $I_r = \frac{1}{|B_r(x_0)|} |\int_{B_r(x_0)} \Phi(x_0) - \Phi dV|$, e per ls continuità di $\Phi$ puoi concludere che per $r \rightarrow 0$ hai che $I_r \rightarrow 0$, da cui la tesi.

[dissonance]

"mat.pasc":No certo ma il passaggio è chiaro, il punto che devo sapere a priori questo

[quote="feddy"]$$\Phi(x_0)=\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{B_r(x_0)} \Phi dV$$

che in realtà non ho compreso appieno il perché.[/quote]
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... on_theorem

(questa è la versione più generale possibile; se $\Phi$ è continua è molto più semplice)

[mat.pasc]

Grazie mille!!!!