Definizione di diffeomorfismo

[thedarkhero]

Una funzione $f:RR^n->RR^n$ si dice diffeomorfismo se è di classe $C^1$, biiettiva e con inversa di classe $C^1$.
Mi chiedevo dunque...esistono funzioni $f:RR^n->RR^n$ di classe $C^1$, biiettive ma la cui inversa non è di classe $C^1$?

[spugna2]

L'esempio classico è $f(x)=x^3$, la cui inversa non è derivabile in $0$: da qui puoi costruire esempi in dimensione arbitraria prendendo $f(x_1,...,x_n)=(x_1^3,...,x_n^3)$. In generale, $f^{-1}$ può non essere di classe $C^1$ in un punto $f(p)$ se $p$ è un punto critico di $f$, ovvero se la matrice jacobiana di $f$ in $p$ ha determinante nullo; se invece $p$ non è un punto critico, il teorema della funzione inversa garantisce che $f^{-1}$ è di classe $C^1$ in un intorno di $f(p)$.