Definizione di convoluzione e cross-correlazione
Salve, volevo porvi una domanda su una cosa che non ho mai capito.
Su tutti i libri (di fisica o teoria dei segnali ad esempio) dove si utilizzano convoluzione o crosscorrelazione sì dice sempre che:
La convoluzione è l'operazione tra due funzioni definita così $int_(-oo)^(+oo)f(y)g(x-y)dy$
e la crosscorrelazione simile ma col segno più $int_(-oo)^(+oo)f(y)g(x+y)dy$
E da qui si usano bei teoremini quali ad esempio "La trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate"
Ora la mia domanda: quell'integrale di convoluzione non è manco detto che converga..E poi la trasformata di Fourier è definita in L1 o L2 se inteso il valor principale (in una dimensione, in più dimensioni so che è definita solo per funzione $L^1(mathbb{R}^n)$.
Quindi: quali sono le ipotesi per cui ha senso definire queste operazioni tra funzioni? Che significato hanno? E quali sono le ipotesi sulle funzioni f e g per far sì che sti teoremini sulla convoluzione siano veri?Ad esempio chi mi dice che se f e g sono L1 allora anche la convoluzione lo è? O viceversa come faccio a sapere quali funzioni hanno convoluzione L1?
Se sapete anceh indicarmi un buon libro dove son spiegate ste cose ve ne sarei grato, poichè io non ho mai trovato nulla di fatto bene, solo vari appunti su internet tutti molto oscuri...
Grazie
Su tutti i libri (di fisica o teoria dei segnali ad esempio) dove si utilizzano convoluzione o crosscorrelazione sì dice sempre che:
La convoluzione è l'operazione tra due funzioni definita così $int_(-oo)^(+oo)f(y)g(x-y)dy$
e la crosscorrelazione simile ma col segno più $int_(-oo)^(+oo)f(y)g(x+y)dy$
E da qui si usano bei teoremini quali ad esempio "La trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate"
Ora la mia domanda: quell'integrale di convoluzione non è manco detto che converga..E poi la trasformata di Fourier è definita in L1 o L2 se inteso il valor principale (in una dimensione, in più dimensioni so che è definita solo per funzione $L^1(mathbb{R}^n)$.
Quindi: quali sono le ipotesi per cui ha senso definire queste operazioni tra funzioni? Che significato hanno? E quali sono le ipotesi sulle funzioni f e g per far sì che sti teoremini sulla convoluzione siano veri?Ad esempio chi mi dice che se f e g sono L1 allora anche la convoluzione lo è? O viceversa come faccio a sapere quali funzioni hanno convoluzione L1?
Se sapete anceh indicarmi un buon libro dove son spiegate ste cose ve ne sarei grato, poichè io non ho mai trovato nulla di fatto bene, solo vari appunti su internet tutti molto oscuri...
Grazie
Risposte
Intanto che la trasformata di Fourier multidimensionale sia definita solo in $L^1$ non so chi te l'abbia detto, ma è falso: il teorema di Plancherel vale pari pari indipendentemente dal numero delle dimensioni e permette di estendere la trasformata $L^1$ ad un operatore unitario $L^2(RR^n) \to L^2(RR^n)$. Le altre tue domande riguardano un teorema detto di Young, che stabilisce condizioni affinché il prodotto di convoluzione tra spazi $L^p$ sia ben definito e continuo.
Se ne parla in modo sintetico e - penso - adatto ad un fisico sul solito Teschl, primo paragrafo del settimo capitolo.
Se ne parla in modo sintetico e - penso - adatto ad un fisico sul solito Teschl, primo paragrafo del settimo capitolo.
Ah ok, la cosa di L2 non l'avevo sentita in più dimensioni!
Riusciresti gentilmente a postarmi un riassuntino in breve di quello che risponde alla domanda del teorema da te citato? intando io vedo se trovo qualcosa in rete e se trovo su emule sto benedetto libro
Questa domanda mi serve per capire dei passaggi in una dimostrazione (quella che in fisica è la derivazione dei "Potenziali Ritardati") che ha molti punti che non capisco, ma che vista la sua lunghezza posterò in un altro post (posteriormente a questo momento,supposto che potrei anche postarlo via postale a c'è posta per te).
Riusciresti gentilmente a postarmi un riassuntino in breve di quello che risponde alla domanda del teorema da te citato? intando io vedo se trovo qualcosa in rete e se trovo su emule sto benedetto libro
Questa domanda mi serve per capire dei passaggi in una dimostrazione (quella che in fisica è la derivazione dei "Potenziali Ritardati") che ha molti punti che non capisco, ma che vista la sua lunghezza posterò in un altro post (posteriormente a questo momento,supposto che potrei anche postarlo via postale a c'è posta per te).
Ma perché lo devi trovare su emule? Guarda che nel link c'è una copia in pdf, per quello lo consiglio sistematicamente, così puoi subito consultarlo.
P.S.: Un'altra risorsa che ti può servire è
http://www.dm.uniba.it/%7Ejannelli/dida ... alisi3.pdf
queste sono le dispense di un mio professore, il primo paragrafo tratta proprio il teorema di Young con un buon livello di dettaglio.
P.S.: Un'altra risorsa che ti può servire è
http://www.dm.uniba.it/%7Ejannelli/dida ... alisi3.pdf
queste sono le dispense di un mio professore, il primo paragrafo tratta proprio il teorema di Young con un buon livello di dettaglio.
Ma vaaa?? ma quindi tutti i libri che metti linkati hanno il pdf online??? non la sapevo sta cosa!!
Ps in compenso ho trovato su emule quello da te consigliato nell'altro post, il reed-simon, ho visto che sono 4 volumi! ora chissà quando partirà il download ma è già un buon inizio
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