Definizione di convessità (complicata)
Ciao, non ho capito la definizione analitica di convessità che figura su wikipedia, gradirei che qualcuno me la spiegasse, grazie mille
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Conve ... raph-1.png
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Conve ... raph-1.png
Risposte
Detto in soldoni, una funzione è convessa se, presi due punti del suo dominio, il suo grafico si trova sempre sotto il segmento che unisce i due punti.
Detto in modo più preciso: se $x_0,\ x$ sono nel dominio di $f$, allora la funzione $x(t)=(1-t) x_0+t x,\ t\in[0,1]$ rappresenta il segmento di punto iniziale $x_0$ e punto finale $x$, e quindi la funzione $f(t)=(1-t) f(x_0)+t(f(x),\ t\in[0,1]$ rappresenta il segmento che ha come estremi le immagini via $f$ di questi punti. Per definizione $f$ è convessa se accade che $f(x(t))\geq f(t),\ t\in[0,1]$, e cioè se l'immagine di un qualsiasi punto che si trovi tra $x_0$ e $x$ risulta sempre minore o uguale del corrispondente valore sul segmento che unisce $f(x_0)$ e $f(x)$.
Detto in modo più preciso: se $x_0,\ x$ sono nel dominio di $f$, allora la funzione $x(t)=(1-t) x_0+t x,\ t\in[0,1]$ rappresenta il segmento di punto iniziale $x_0$ e punto finale $x$, e quindi la funzione $f(t)=(1-t) f(x_0)+t(f(x),\ t\in[0,1]$ rappresenta il segmento che ha come estremi le immagini via $f$ di questi punti. Per definizione $f$ è convessa se accade che $f(x(t))\geq f(t),\ t\in[0,1]$, e cioè se l'immagine di un qualsiasi punto che si trovi tra $x_0$ e $x$ risulta sempre minore o uguale del corrispondente valore sul segmento che unisce $f(x_0)$ e $f(x)$.
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Ma studiare dai libri non va più di moda?
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Ma studiare dai libri non va più di moda?
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ho capito, tutto chiaro, il libro (come al solito) diceva la formula e basta, senza dare una spiegazione grafica del concetto. Dopo un pò di riflessione e grazie al vostro aiuto mi è chiaro. Ciao
@Soscia: Tanto per curiosità, che libro è?
il pagani salsa (mette solo la definizione analitica di convessità ed un grafico, senza però spiegare a parole - per i matematici è troppo difficile parlare in italiano), sul marcellini sbordone manco c'è scritto
"Soscia":
il pagani salsa (mette solo la definizione analitica di convessità ed un grafico, senza però spiegare a parole - per i matematici è troppo difficile parlare in italiano), sul marcellini sbordone manco c'è scritto
Sui "vecchi" testi c'era sempre una figura... Poi la convessità è un concetto geometrico di base, quindi è importante visualizzarlo, quindi mi pare strano che sui nuovi testi non ci sia nulla in proposito.
Poi, non mi pare che per i matematici sia difficile espremersi senza usare le formule... Probabilmente è più vero il contrario: chi non è abituato alle formule non comprende il loro significato e, piuttosto che imparare un nuovo linguaggio (con tutto lo sforzo che ciò comporta), preferisce cercare conforto nelle parole e nei disegni.
Ad ognuno il suo.
Strani sti matematici, vero? Che pessima gentaglia... ah, aspetta... sono pure io un matematico... che pessimo individuo che sono!
visto che uno studente di 19 anni non è ancora abituato totalmente alle formule, sarebbe opportuno che i libri spiegassero un pò di più in italiano. E' normale che per voi matematici sia facile comprendere quel linguaggio, però, per uno come me che è da poco che si è avvicinato seriamente all'analisi non è facilissimo comprendere il significato di quelle formule senza una chiara spiegazione in italiano.
Non sto dicendo che voi matematici siete pessimi, ma solo che ad uno studente come me sarebbe gradito un linguaggio fatto non solo di formule, ma anche di parole: esempio stupido: come si fa ad imparare il cinese senza un vocabolario che traduca le parole da italiano a cinese e viceversa? Allo stesso modo, come faccio ad imparare bene analisi se il libro scrive solo le formule senza tradurle in italiano?
Non sto dicendo che voi matematici siete pessimi, ma solo che ad uno studente come me sarebbe gradito un linguaggio fatto non solo di formule, ma anche di parole: esempio stupido: come si fa ad imparare il cinese senza un vocabolario che traduca le parole da italiano a cinese e viceversa? Allo stesso modo, come faccio ad imparare bene analisi se il libro scrive solo le formule senza tradurle in italiano?
Un po' di ragione soscia ce l'ha secondo me 
"Soscia":
visto che uno studente di 19 anni non è ancora abituato totalmente alle formule, sarebbe opportuno che i libri spiegassero un pò di più in italiano. E' normale che per voi matematici sia facile comprendere quel linguaggio, però, per uno come me che è da poco che si è avvicinato seriamente all'analisi non è facilissimo comprendere il significato di quelle formule senza una chiara spiegazione in italiano.
Non sto dicendo che voi matematici siete pessimi, ma solo che ad uno studente come me sarebbe gradito un linguaggio fatto non solo di formule, ma anche di parole: esempio stupido: come si fa ad imparare il cinese senza un vocabolario che traduca le parole da italiano a cinese e viceversa? Allo stesso modo, come faccio ad imparare bene analisi se il libro scrive solo le formule senza tradurle in italiano?
Secondo questo tuo ragionamento, uno che sa suonare solo da un paio di anni il pianoforte dovrebbe avere scritto, sul pentagramma, il nome delle note e il disegno di come posizionare le dita sulla tastiera!
Io penso che all'inizio sia perfettamente normale non capirci niente tra le formule: è davvero come imparare una lingua nuova. Per cui Scioscia non ti preoccupare!
E' importante che qualcuno te le spieghi, ma, se ti piace la matematica, è anche importante che tu cerchi di sviscerarne il significato (o i significati), anche se questo costa fatica!
E' importante che qualcuno te le spieghi, ma, se ti piace la matematica, è anche importante che tu cerchi di sviscerarne il significato (o i significati), anche se questo costa fatica!
Da matematico decrepito sono solidale con Soscia
Ma infatti non stavo dando torto a Soscia: ho detto chiaramente che mi pare molto strano (nonché didatticamente insensato, aggiungo) che il libro non riporti altro tipo di spiegazioni oltre la definizione.
D'altra parte, il commento sulla difficoltà di parlare fuori dalle formule il buon Soscia poteva anche risparmiarselo; a testimonianza che i Matematici non hanno difficoltà di tal genere c'è proprio questo forum.
P.S. @Soscia: Ma hai provato a guardare qualche vecchia edizione del testo? Non vorrei che, dovendo adattare il tutto per i nuovi programmi, qualche "buon" editor abbia deciso di tagliare quella che gli sembrava una parte superflua...
D'altra parte, il commento sulla difficoltà di parlare fuori dalle formule il buon Soscia poteva anche risparmiarselo; a testimonianza che i Matematici non hanno difficoltà di tal genere c'è proprio questo forum.
P.S. @Soscia: Ma hai provato a guardare qualche vecchia edizione del testo? Non vorrei che, dovendo adattare il tutto per i nuovi programmi, qualche "buon" editor abbia deciso di tagliare quella che gli sembrava una parte superflua...
il libro che ho è il Pagani-Salsa del 1995...
"Soscia":
il libro che ho è il Pagani-Salsa del 1995...
Vabbé, allora buttalo e comprane uno decente.
Ad esempio, sul Giusti c'è spiegata bene la convessità; mi ricordo la figura come fosse ora. Ma anche sul vecchio Fiorenza-Greco, sul Cafiero, sul Campanato, sullo Smirnov, sul Marcellini-Sbordone... Insomma su quelli che ricordo di aver guardato da studente la figura e le spiegazioni ausiliarie c'erano.
Davvero, mi pare oltremodo strano che un concetto fondamentale (ora non lo capisci a fondo, ma la convessità è importantissima!) sia trattato così superficialmente su un testo di Analisi.
Secondo me il Pagani-Salsa è un ottimo libro.
La convessità mi sembra spiegata bene, anche tramite l'ausilio di 8 figure; tale insieme di figure contiene strettamente quello (di 2 elementi) del Giusti (che peraltro ritengo essere anch'esso un ottimo libro).
La spiegazione iniziale di Ciampax, che pare abbia illuminato Soscia, si trova a pag. 320 ed è illustrata nella figura 6.23.
La convessità mi sembra spiegata bene, anche tramite l'ausilio di 8 figure; tale insieme di figure contiene strettamente quello (di 2 elementi) del Giusti (che peraltro ritengo essere anch'esso un ottimo libro).
La spiegazione iniziale di Ciampax, che pare abbia illuminato Soscia, si trova a pag. 320 ed è illustrata nella figura 6.23.
Infatti a me pare strano che sul Pagani-Salsa, libro scritto prevalentemente per studenti di Ingegneria, non ci sia una spiegazione "in soldoni" come quella che ho fatto io. Sull'edizione nuova che ho io c'è. E se Rigel conferma, allora sarei propenso a dire che, piuttosto che criticare i libri, bisognerebbe evitare Wikipedia!
Ah, ecco... Era troppo strano che su un libro di Analisi non ci fosse nulla di quanto detto ciampax.
Purtroppo non avevo il Pagani-Salsa sotto mano per controllare io stesso (non l'ho mai usato ed oggi non sono andato in dipartimento), altrimenti avrei provveduto io; grazie Rigel.
P.S.: Rigel, ma che edizione hai consultato?
Purtroppo non avevo il Pagani-Salsa sotto mano per controllare io stesso (non l'ho mai usato ed oggi non sono andato in dipartimento), altrimenti avrei provveduto io; grazie Rigel.
P.S.: Rigel, ma che edizione hai consultato?
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