Definizione di Continuità "al contrario"
Scusate se la mia domanda è banale, ma è un pò di tempo che non vedevo funzioni continue e sono incappato in un problema...
Def.
[tex]f[/tex] è continua in [tex]x_0[/tex] se [tex]\forall \epsilon>0 \;\;\;\exists \delta(\epsilon)>0\;\;[/tex] tc
Se [tex]||x-x_0|| <\delta\;\;\;\Rightarrow \;\;||f(x)-f(x_0)||<\epsilon[/tex]
In un libro si ha una funzione [tex]x(d)[/tex] di alcuni dati [tex]d[/tex] non meglio specificati appartenenti comunque ad uno spazio normato dice:
Mi chiedevo: come si può dimostrare?
Io sono partito dal dire
[tex]\forall \epsilon>0 \;\;\;\exists \delta(\epsilon)>0\;\;[/tex] e [tex]K(x_0,\epsilon):=\frac{\epsilon}{\delta}[/tex] tc
Se [tex]||x-x_0|| <\delta\;\;\;\Rightarrow \;\;||f(x)-f(x_0)||
ora però il per ogni è su epsilon e non su delta, dovrei poter dire che
la funzione [tex]\delta(\epsilon)[/tex] è invertibile e allora potrei scrivere per ogni delta al posto di per ogni epsilon, ma chi me lo dice?
Def.
[tex]f[/tex] è continua in [tex]x_0[/tex] se [tex]\forall \epsilon>0 \;\;\;\exists \delta(\epsilon)>0\;\;[/tex] tc
Se [tex]||x-x_0|| <\delta\;\;\;\Rightarrow \;\;||f(x)-f(x_0)||<\epsilon[/tex]
In un libro si ha una funzione [tex]x(d)[/tex] di alcuni dati [tex]d[/tex] non meglio specificati appartenenti comunque ad uno spazio normato dice:
data la dipendenza continua dai dati si può dire che [tex]\forall \eta>0\;\; \exists K(d,\eta)\;\; \mbox{tc}[/tex]
[tex]||\delta d||< \eta \;\;\;\Rightarrow \;\;||\delta x|| < K(d,\eta) ||\delta d||[/tex]
Mi chiedevo: come si può dimostrare?
Io sono partito dal dire
[tex]\forall \epsilon>0 \;\;\;\exists \delta(\epsilon)>0\;\;[/tex] e [tex]K(x_0,\epsilon):=\frac{\epsilon}{\delta}[/tex] tc
Se [tex]||x-x_0|| <\delta\;\;\;\Rightarrow \;\;||f(x)-f(x_0)||
ora però il per ogni è su epsilon e non su delta, dovrei poter dire che
la funzione [tex]\delta(\epsilon)[/tex] è invertibile e allora potrei scrivere per ogni delta al posto di per ogni epsilon, ma chi me lo dice?
Risposte
Forse non ho capito io ma mi sembra che il pezzo del libro che hai citato sia semplicemente identico alla definizione di continuità che hai scritto: l'unica differenza è che la definizione che hai dato è quella di continuità in un punto, mentre quella del libro è la stessa definizione applicata a tutti i punti di un certo dominio. Infatti per una funzione continua $f$, per ogni punto $d$ ad una variazione limitata da $epsilon$ dell'indeterminata corrisponde una variazione limitata da $delta(epsilon)$ del valore della funzione; tuttavia, scelto l'$epsilon$, a diversi valori dell'indeterminata corrispondono diversi valori di $delta$ e quindi la definizione di continuità estesa ad un dominio è:
$\forall \epsilon > 0$ $\forall d \in D$ $\EE delta(epsilon,d)$ tc ...
ove con $D$ intendo il dominio di continuità.
Nel libro il nostro $epsilon$ è chiamato $eta$ e il nostro $delta(epsilon,d)$ è chiamato $K$.
A.
$\forall \epsilon > 0$ $\forall d \in D$ $\EE delta(epsilon,d)$ tc ...
ove con $D$ intendo il dominio di continuità.
Nel libro il nostro $epsilon$ è chiamato $eta$ e il nostro $delta(epsilon,d)$ è chiamato $K$.
A.
Si però il [tex]\forall[/tex] è dall'altra parte... Questo non dovrebbe creare problemi?
Mi spiego meglio:
[tex]\forall d_0\in D\;\;\forall \epsilon>0\;\;\;\exists \; \delta(\epsilon,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\;||x(d)-x(d_0)||<\epsilon[/tex]
E' diverso da
[tex]\forall d_0\in D\;\;\forall \delta>0\;\;\;\exists \; \epsilon(\delta,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\;||x(d)-x(d_0)||<\epsilon[/tex]
Io ho la prima, mentre l'affermazione cercata si può ottenere dall'ultima,
perché posso definire [tex]K(\delta,d_0):= \frac{\epsilon}{\delta}[/tex]
da cui [tex]||x(d)-x(d_0)||
(e dovrei riuscire, magari aggiungendo un fattore di proporzionalità
ad avere la stessa affermazione del libro...)
Mi spiego meglio:
[tex]\forall d_0\in D\;\;\forall \epsilon>0\;\;\;\exists \; \delta(\epsilon,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\;||x(d)-x(d_0)||<\epsilon[/tex]
E' diverso da
[tex]\forall d_0\in D\;\;\forall \delta>0\;\;\;\exists \; \epsilon(\delta,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\;||x(d)-x(d_0)||<\epsilon[/tex]
Io ho la prima, mentre l'affermazione cercata si può ottenere dall'ultima,
perché posso definire [tex]K(\delta,d_0):= \frac{\epsilon}{\delta}[/tex]
da cui [tex]||x(d)-x(d_0)||
(e dovrei riuscire, magari aggiungendo un fattore di proporzionalità
ad avere la stessa affermazione del libro...)
Scusa, Fox, ma la proposizione:
[tex]$\forall d_0\in D,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta=\delta (\varepsilon ,d_0)>0:\quad \forall d\in D,\ \lVert d-d_0\rVert<\delta\ \Rightarrow\ \lVert x(d)-x(d_0) \rVert<\varepsilon $[/tex]
non è proprio la definizione di continuità in ogni [tex]$d_0 \in D$[/tex] della funzione [tex]$x(d)$[/tex]?
Che poi sarebbe quello che ti serve, visto che stai dicendo che la soluzione [tex]$x$[/tex] di un certo problema dipende con continuità dai dati iniziali.
Non vedo il problema... Non è che stai confondendo il nome della variabile col nome della funzione (di solito [tex]$x$[/tex] si usa come variabile indipendente, ma qui è usata come funzione dei dati iniziali)?
[tex]$\forall d_0\in D,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta=\delta (\varepsilon ,d_0)>0:\quad \forall d\in D,\ \lVert d-d_0\rVert<\delta\ \Rightarrow\ \lVert x(d)-x(d_0) \rVert<\varepsilon $[/tex]
non è proprio la definizione di continuità in ogni [tex]$d_0 \in D$[/tex] della funzione [tex]$x(d)$[/tex]?
Che poi sarebbe quello che ti serve, visto che stai dicendo che la soluzione [tex]$x$[/tex] di un certo problema dipende con continuità dai dati iniziali.
Non vedo il problema... Non è che stai confondendo il nome della variabile col nome della funzione (di solito [tex]$x$[/tex] si usa come variabile indipendente, ma qui è usata come funzione dei dati iniziali)?
Però lui dice
[tex]\forall \delta>0 \;\;\exists \;\;K(\delta,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\; ||x(d)-x(d_0)||
nella definizione di continuità che anche tu hai riportato, invece, il perogni è su [tex]\epsilon[/tex] (e quindi sul Codominio) e non su [tex]\delta[/tex] (quindi sul Dominio)
è questo che mi crea confusione...
[tex]\forall \delta>0 \;\;\exists \;\;K(\delta,d_0)\;\;[/tex] tc
[tex]||d-d_0||<\delta\;\;\;\Rightarrow\;\;\; ||x(d)-x(d_0)||
nella definizione di continuità che anche tu hai riportato, invece, il perogni è su [tex]\epsilon[/tex] (e quindi sul Codominio) e non su [tex]\delta[/tex] (quindi sul Dominio)
è questo che mi crea confusione...
E pure hai ragione, non avevo notato.
Rileggendo bene, sembra che la proposizione:
[tex]$\forall \eta>0,\ \exists K(d_0,\eta)\geq 0:\quad \lVert d-d_0\rVert < \eta \ \Rightarrow \ \lVert x(d)-x(d_0)\rVert < K(d_0,\eta) \lVert d-d_0\rVert$[/tex]
ti stia dicendo che la dipendenza dai dati è localmente lipschitziana intorno ad ogni [tex]$d_0\in D$[/tex]... Ma comunque mi pare una formulazione strana della cosa.
Ad ogni modo, dove l'hai trovata questa roba?
Così, casomai ci dò un'occhiata.
Rileggendo bene, sembra che la proposizione:
[tex]$\forall \eta>0,\ \exists K(d_0,\eta)\geq 0:\quad \lVert d-d_0\rVert < \eta \ \Rightarrow \ \lVert x(d)-x(d_0)\rVert < K(d_0,\eta) \lVert d-d_0\rVert$[/tex]
ti stia dicendo che la dipendenza dai dati è localmente lipschitziana intorno ad ogni [tex]$d_0\in D$[/tex]... Ma comunque mi pare una formulazione strana della cosa.
Ad ogni modo, dove l'hai trovata questa roba?
Così, casomai ci dò un'occhiata.
Probabilmente allora l'errore è mio nel riportare TUTTE le ipotesi fatte...
Il libro di A. Quarteroni e altri: "Numerical Mathematics" p. 34
Per farla breve in questo contesto si suppone di avere un funzionale [tex]F[/tex] che lega 2 spazi:
lo spazio [tex]D[/tex] dei dati e lo spazio [tex]X[/tex] delle "soluzioni"
Definisce il "Problema diretto"
il problema di ricavare [tex]x[/tex] a partire da [tex]d \in D[/tex]
e sapendo che esiste la relazione
[tex]F(x,d)=0[/tex]
Il problema è "ben posto" se ammette un'unica soluzione [tex]x[/tex] che dipende con continuità dai dati.
E poi, cito testualmente:
Il libro di A. Quarteroni e altri: "Numerical Mathematics" p. 34
Per farla breve in questo contesto si suppone di avere un funzionale [tex]F[/tex] che lega 2 spazi:
lo spazio [tex]D[/tex] dei dati e lo spazio [tex]X[/tex] delle "soluzioni"
Definisce il "Problema diretto"
il problema di ricavare [tex]x[/tex] a partire da [tex]d \in D[/tex]
e sapendo che esiste la relazione
[tex]F(x,d)=0[/tex]
Il problema è "ben posto" se ammette un'unica soluzione [tex]x[/tex] che dipende con continuità dai dati.
E poi, cito testualmente:
Continuous dependence on the data means that small perturbations on
the data d yield “small” changes in the solution x. Precisely, denoting by δd
an admissible perturbation on the data and by δx the consequent change
in the solution, in such a way that
F (x + δx, d + δd) = 0, (2.2)
then
∀η > 0, ∃K(η, d) : δd < η ⇒ δx ≤ K(η, d) δd .
Ah, ecco... Il tutto è preso da un testo di Matematica Numerica.
Il problema è che, per chi si occupa di applicazioni numeriche, sono importanti gli "errori relativi": infatti dalla formulazione della continuità che hai dato si evince una volontà di stimare la grandezza dell perturbazione [tex]$\delta x$[/tex] rispetto alla grandezza della perturbazione [tex]$\delta d$[/tex]...
Ora (correggimi se sbaglio) per fare quanto appena detto, ad un certo punto si dovrà considerare qualcosa di simile al rapporto [tex]\frac{\lVert \delta x\rVert}{\lVert \delta d\rVert}[/tex]: proprio in questo passaggio si capirà meglio come torna utile la "nuova" definizione di continuità.
Il problema è che, per chi si occupa di applicazioni numeriche, sono importanti gli "errori relativi": infatti dalla formulazione della continuità che hai dato si evince una volontà di stimare la grandezza dell perturbazione [tex]$\delta x$[/tex] rispetto alla grandezza della perturbazione [tex]$\delta d$[/tex]...
Ora (correggimi se sbaglio) per fare quanto appena detto, ad un certo punto si dovrà considerare qualcosa di simile al rapporto [tex]\frac{\lVert \delta x\rVert}{\lVert \delta d\rVert}[/tex]: proprio in questo passaggio si capirà meglio come torna utile la "nuova" definizione di continuità.
Ah....
quindi mi stai dicendo (ed effettivamente rileggendo adesso il tutto sembra la cosa più ragionevole) che lui dà una diversa definizione di continuità
rispetto alla definizione usuale nell'analisi...
Esatto, infatti dopo lui stima il [tex]\sup_{\delta d \in B(0,r)} \frac{||\delta x|| / ||x||}{||\delta d||/ ||d|| }[/tex], cioè il sup su un intorno di 0 nello spazio dei dati
Che cosa strana però, poteva almeno introdurre la cosa con un pò più di "tatto". Io se leggo continuità penso alla definizione dell' analisi,
poteva spendere una frase per dire che è "un'altra", ma magari sono io che non sono abbastanza "lungimirante"
Ok, quindi pare problema risolto,
Grazie gugo
quindi mi stai dicendo (ed effettivamente rileggendo adesso il tutto sembra la cosa più ragionevole) che lui dà una diversa definizione di continuità
rispetto alla definizione usuale nell'analisi...
"gugo82":
Ora (correggimi se sbaglio) per fare quanto appena detto, ad un certo punto si dovrà considerare qualcosa di simile al rapporto [tex]\frac{\lVert \delta x\rVert}{\lVert \delta d\rVert}[/tex]: proprio in questo passaggio si capirà meglio come torna utile la "nuova" definizione di continuità.
Esatto, infatti dopo lui stima il [tex]\sup_{\delta d \in B(0,r)} \frac{||\delta x|| / ||x||}{||\delta d||/ ||d|| }[/tex], cioè il sup su un intorno di 0 nello spazio dei dati
Che cosa strana però, poteva almeno introdurre la cosa con un pò più di "tatto". Io se leggo continuità penso alla definizione dell' analisi,
poteva spendere una frase per dire che è "un'altra", ma magari sono io che non sono abbastanza "lungimirante"
Ok, quindi pare problema risolto,
Grazie gugo
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