Definizione di aperto regolare
Sulle dispense del mio prof c'è scritto:
Ora, io non ho per niente capito che cosa significa questa cosa, e non riesco a trovare altre informazioni su internet....
Sapete dirmi che cosa significa?
Grazie
Sia $A$ aperto $A subset RR^2$. $A$ è aperto regolare se $EE f in C^1(RR^n) t.c.$:
$A={x in RR^n t.c. f(x)<0}$
$del A = {x in RR^n t.c. f(x)=0}$
Se $F in C^1(RR^n) => grad F != 0$ su $del A$ => la frontiera $del A$ è una superficie regolare e quindi posso definire il versore normale $nu = (grad F)/(||grad F||)$
Ora, io non ho per niente capito che cosa significa questa cosa, e non riesco a trovare altre informazioni su internet....
Sapete dirmi che cosa significa?
Grazie
Risposte
Applicazione carina del teorema di Dini.
E' anche un esempio utile per mostrare l'importanza del teorema di Dini (cosa di cui si stava discutendo in questi giorni nel forum).
NB: tu scrivi $F in C^1(RR^n) => grad F != 0$.
In realtà ti serve che $F in C^1(RR^n)$ e che $grad F != 0$.
[size=75]Nota maligna: mica sei uno di quelli che sono abituati a mettere il segno $=>$ da tutte le parti, anche nella minestra?[/size]
E' anche un esempio utile per mostrare l'importanza del teorema di Dini (cosa di cui si stava discutendo in questi giorni nel forum).
NB: tu scrivi $F in C^1(RR^n) => grad F != 0$.
In realtà ti serve che $F in C^1(RR^n)$ e che $grad F != 0$.
[size=75]Nota maligna: mica sei uno di quelli che sono abituati a mettere il segno $=>$ da tutte le parti, anche nella minestra?[/size]
Grossomodo significa che, localmente, puoi considerare il bordo del tuo aperto come il grafico di una funzione di classe $C^1$.
Una definizione equivalente la trovi su Gilardi §5.41 (pag.19).
Per esempio questo aperto è di classe $C^1$ (per la verità è $C^\infty$):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;axes(); fill="cyan";circle([0, 0], 1);[/asvg]
Questo invece non è di classe $C^1$ ma è Lipschitziano, e spesso questo è sufficiente:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;axes(); fill="cyan";rect([-1, -1],[1,1] );
stroke="red"; marker="arrow"; line ([1.3, 1.3], [0, 0]);
line ([2, 0], [0, 2]);[/asvg]
Evidentemente il problema sono gli spigoli, che non possono essere resi come grafico di una funzione liscia. Ma piazzando un sistema di coordinate cartesiane come in figura, ogni spigolo può essere reso come grafico della funzione valore assoluto, che è Lipschitziana.
Per concludere, un esempio di aperto né regolare né Lipschitziano (grazie stan per il javascript):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;axes(); plot("sqrt(abs(x))");
line ([1, 1], [1, -1]); line([1, -1], [-1, -1]); line ([-1, -1], [-1, 1]);
var incr = 0.05; // distanza tra due rette verticali
var xm = 3.14;
var xi = xm/incr;
function fillRegion (xmin, xmax, color) {
var x1, y1,y2;
stroke=color;
for (var x=xmin; x< xmax; x++) {
x1 = incr*x;
y1 = -1;
y2 = Math.sqrt(Math.abs(x1));
// traccia la retta
line([x1,y1 ], [x1, y2]);
}
}
fillRegion(-20, 20, "cyan");[/asvg]
Il problema, qui, è quella cuspide entrante, che non si riesce a rendere come grafico di una funzione Lipschitziana.
Una definizione equivalente la trovi su Gilardi §5.41 (pag.19).
Per esempio questo aperto è di classe $C^1$ (per la verità è $C^\infty$):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;axes(); fill="cyan";circle([0, 0], 1);[/asvg]
Questo invece non è di classe $C^1$ ma è Lipschitziano, e spesso questo è sufficiente:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;axes(); fill="cyan";rect([-1, -1],[1,1] );
stroke="red"; marker="arrow"; line ([1.3, 1.3], [0, 0]);
line ([2, 0], [0, 2]);[/asvg]
Evidentemente il problema sono gli spigoli, che non possono essere resi come grafico di una funzione liscia. Ma piazzando un sistema di coordinate cartesiane come in figura, ogni spigolo può essere reso come grafico della funzione valore assoluto, che è Lipschitziana.
Per concludere, un esempio di aperto né regolare né Lipschitziano (grazie stan per il javascript):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;axes(); plot("sqrt(abs(x))");
line ([1, 1], [1, -1]); line([1, -1], [-1, -1]); line ([-1, -1], [-1, 1]);
var incr = 0.05; // distanza tra due rette verticali
var xm = 3.14;
var xi = xm/incr;
function fillRegion (xmin, xmax, color) {
var x1, y1,y2;
stroke=color;
for (var x=xmin; x< xmax; x++) {
x1 = incr*x;
y1 = -1;
y2 = Math.sqrt(Math.abs(x1));
// traccia la retta
line([x1,y1 ], [x1, y2]);
}
}
fillRegion(-20, 20, "cyan");[/asvg]
Il problema, qui, è quella cuspide entrante, che non si riesce a rendere come grafico di una funzione Lipschitziana.
"dissonance":Nota: non è immediato capire perché la tua definizione significhi questo. Infatti è qui che serve il teorema del Dini a cui accennava Fioravante.
Grossomodo significa che, localmente, puoi considerare il bordo del tuo aperto come il grafico di una funzione di classe $C^1$.
"Fioravante Patrone":
[size=75]Nota maligna: mica sei uno di quelli che sono abituati a mettere il segno $=>$ da tutte le parti, anche nella minestra?[/size]
No no! Sulle dispense c'è esplicitamente scritto il "=>" invece del "e anche"
e ora è tutto moooolto più chiaro...Grazie a tutti ora ho capito!
"gygabyte017":
[quote="Fioravante Patrone"][size=75]Nota maligna: mica sei uno di quelli che sono abituati a mettere il segno $=>$ da tutte le parti, anche nella minestra?[/size]
No no! Sulle dispense c'è esplicitamente scritto il "=>" invece del "e anche"
e ora è tutto moooolto più chiaro...[/quote]
Fuori il nome di chi ha scritto le dispense!
... è evidente che è un refuso, lo so anch'io.
E' vero, se lo sai pure tu è sicuramente un refuso 
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