Definizione delle potenze ad esponente reale

[mario998]

Salve, sto ristudiando un pò le basi e mi sono imbattutto nella dimostrazione dell'esistenza della funzione esponenziale. Il testo che uso parte prima con questo esercizio:
"L'insieme \(\displaystyle E=\{a^{q} : q\in Q, q>0\} \) ha 1 come estremo inferiore. (questo l'ho anche capito)
E poi inizia con
Sia \(\displaystyle a\in R, a>1\) Per ogni x reale si ponga
\(\displaystyle U_{x} = \{a^p:p\in Q, px\} \) Allora, \(\displaystyle U_x \) e \(\displaystyle V_x \) sono una coppia di classi contigue.
Dim:
\(\displaystyle U_x < V_x \) per la stretta crescenza di \(\displaystyle \alpha \rightarrow a^{\alpha} \). Se \(\displaystyle \xi < \eta \) fossero due elementi separatori si avrebbe \(\displaystyle a^p<\xi<\eta\frac{\eta}{\xi}>1 \), ma ogni numero razionale strettamente positivo \(\displaystyle \rho \) si scrive \(\displaystyle \rho = q-p \), con \(\displaystyle p

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Risposte

marco2132k

19 set 2022, 15:36

Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

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mario998

19 set 2022, 15:56

"marco2132k":Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

Scusa ma non riesco ancora a capire, cioè, il fatto che nel primo esercizio capiamo che l'insieme E ha 1 come estremo inferiore non mi dice proprio che \(\displaystyle a^{\rho}>1 \) per tutti i razionali >0?

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mario998

19 set 2022, 16:20

"marco2132k":Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

Scusa ma ancora non riesco a capire, se l'insieme E ha 1 come inf non vuol dire proprio che \(\displaystyle a^{\rho} >1 \)?

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marco2132k

19 set 2022, 20:12

No, ti consiglio di ripassare la definizione di estremo inferiore.

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3m0o

19 set 2022, 23:03

Se $ 1< \eta/\xi < a^{\rho} $ per ogni $\rho=q-p>0$ allora avresti che 1 non è il più grande minorante perché $\eta/\xi$ è un minorante ed è più grande di 1

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regim

21 set 2022, 10:30

Solo un consiglio. A mio avviso ogni argomento ha un punto centrale, un teorema o un concetto che ti permette poi di ricostruirti facilmente anche le premesse, le ipotesi di partenza. Nel caso in questione, personalmente, data l'equivalenza tra alcune proprietà assunte vere dei numeri reali come l'assioma di Dedekind o quello dell'estremo superiore, etc etc puoi ricavarti le conclusioni in svariati modi, la strada che io ho trovato la più semplice in questo caso, è dimostrare che: data una successione di numeri razionali $r_n$ che converge ad un numero reale $\xi$, la successione di potenze di numero reale con esponente razionale $A^{r_n}$ è fondamentale o di Cauchy, e quindi converge(questo è centrale), e si definirà la potenza con esponente reale pari a quel limite; in formule: $$A^{\xi} :=\lim_{n\to\infty} A^{r_n}$$ Da qui vedi che, affinchè questa definizione sia ben posta, occorrerà dimostrare che, cambiando la successione dei razionali che tende a $\xi$, non cambia il valore del limite, vedrai allora che sarai costretto a ricordarti anche le premesse che, nei testi, normalmente, vengono prima delle conclusioni, naturalmente. Nota(mi riferisco all'esposizione dell'argomento fatta sul Giusti Analisi Matematica 1, l'uno sta anche ad indicare l'ordine nella mia personalissima classifica dei migliori testi di analisi matematica)

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dissonance

21 set 2022, 22:44

Per me è stata una rivelazione studiare la definizione della funzione esponenziale sul libro di Giovanni Prodi. La funzione \(x\mapsto e^x\) è l'unico omomorfismo continuo di \((\mathbb R, +)\) su \((\mathbb R_{>0}, \cdot)\) con derivata pari a \(1\) per \(x=0\). Oppure equivalentemente l'unica soluzione di \(y'=y, y(0)=1\). Una volta definita la funzione \(x\mapsto e^x\), resta definita automaticamente la funzione \(y\mapsto \log y\) e tutte le altre potenze sono date da \(a^x=e^{x\log a}\).

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otta96

22 set 2022, 11:47

Quel capitolo del Prodi su funzioni esponenziali e circolari è un capolavoro!

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[marco2132k]

Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

[mario998]

"marco2132k":Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

Scusa ma non riesco ancora a capire, cioè, il fatto che nel primo esercizio capiamo che l'insieme E ha 1 come estremo inferiore non mi dice proprio che \(\displaystyle a^{\rho}>1 \) per tutti i razionali >0?

[mario998]

"marco2132k":Se \( \xi \) ed \( \eta \) sono elementi separatori distinti per \( U_x \) e \( V_x \) tali che \( \xi < \eta \), hai che, appunto
\[
\begin{aligned}
a^p &< \xi\\
\eta &< a^q
\end{aligned}
\] per ogni \( p\in \mathbb Q \), \( p < x \), e per ogni \( q\in \mathbb Q \), \( x < q \). Allora hai anche
\[
\frac1{a^p} < \frac1{\xi}\\
\] e dal fatto che tutti quei numeri sono positivi segue che
\[
1 < \frac{\eta}{\xi} < a^{q - p}
\] dove \( q - p > 0 \). Questo risultato vale per tutte le coppie di \( p \) e \( q \) del genere. Ma questo ti dice che preso un razionale positivo qualsiasi, diciamo \( \rho \), è sempre
\[
1 < a^\rho\text{,}
\] perchè puoi sempre scrivere \( \rho \) come \( \rho = q - p \) per due \( p,q\in \mathbb Q \) tali che \( p < x < q \). Ciò è assurdo: gli \( a^\rho \) si schiantano su \( 1 \).

Scusa ma ancora non riesco a capire, se l'insieme E ha 1 come inf non vuol dire proprio che \(\displaystyle a^{\rho} >1 \)?

[marco2132k]

No, ti consiglio di ripassare la definizione di estremo inferiore.

[3m0o]

Se $ 1< \eta/\xi < a^{\rho} $ per ogni $\rho=q-p>0$ allora avresti che 1 non è il più grande minorante perché $\eta/\xi$ è un minorante ed è più grande di 1

[regim]

Solo un consiglio. A mio avviso ogni argomento ha un punto centrale, un teorema o un concetto che ti permette poi di ricostruirti facilmente anche le premesse, le ipotesi di partenza. Nel caso in questione, personalmente, data l'equivalenza tra alcune proprietà assunte vere dei numeri reali come l'assioma di Dedekind o quello dell'estremo superiore, etc etc puoi ricavarti le conclusioni in svariati modi, la strada che io ho trovato la più semplice in questo caso, è dimostrare che: data una successione di numeri razionali $r_n$ che converge ad un numero reale $\xi$, la successione di potenze di numero reale con esponente razionale $A^{r_n}$ è fondamentale o di Cauchy, e quindi converge(questo è centrale), e si definirà la potenza con esponente reale pari a quel limite; in formule: $$A^{\xi} :=\lim_{n\to\infty} A^{r_n}$$ Da qui vedi che, affinchè questa definizione sia ben posta, occorrerà dimostrare che, cambiando la successione dei razionali che tende a $\xi$, non cambia il valore del limite, vedrai allora che sarai costretto a ricordarti anche le premesse che, nei testi, normalmente, vengono prima delle conclusioni, naturalmente. Nota(mi riferisco all'esposizione dell'argomento fatta sul Giusti Analisi Matematica 1, l'uno sta anche ad indicare l'ordine nella mia personalissima classifica dei migliori testi di analisi matematica)

[dissonance]

Per me è stata una rivelazione studiare la definizione della funzione esponenziale sul libro di Giovanni Prodi. La funzione \(x\mapsto e^x\) è l'unico omomorfismo continuo di \((\mathbb R, +)\) su \((\mathbb R_{>0}, \cdot)\) con derivata pari a \(1\) per \(x=0\). Oppure equivalentemente l'unica soluzione di \(y'=y, y(0)=1\). Una volta definita la funzione \(x\mapsto e^x\), resta definita automaticamente la funzione \(y\mapsto \log y\) e tutte le altre potenze sono date da \(a^x=e^{x\log a}\).

[otta96]

Quel capitolo del Prodi su funzioni esponenziali e circolari è un capolavoro!