Definizione della funzione signum
Ciao a tutti, scrivo in merito alla definizione della funzione signum.
Propongo due definizioni differenti, entrambe trovate in vari contesti (libri, dispense, Internet):
(1)\[ \text{sgn}\ x = \cases{1 & \text{per}\quad x > 0 \\ -1 & \text{per}\quad x < 0} \]
(2)\[ \text{sgn}\ x = \cases{1 & \text{per}\quad x > 0 \\ 0 & \text{per}\quad x = 0 \\ -1 & \text{per}\quad x < 0} \]
Secondo me quella corretta è la (1), dato che la funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, ma su alcuni testi e su Internet ho trovato la (2).
D'altronde, se così fosse, non varrebbe più l'identità
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x \]
dato che \( \vert x \vert \) è definita anche per $ x = 0 $.
Qual è la definizione corretta?
Propongo due definizioni differenti, entrambe trovate in vari contesti (libri, dispense, Internet):
(1)\[ \text{sgn}\ x = \cases{1 & \text{per}\quad x > 0 \\ -1 & \text{per}\quad x < 0} \]
(2)\[ \text{sgn}\ x = \cases{1 & \text{per}\quad x > 0 \\ 0 & \text{per}\quad x = 0 \\ -1 & \text{per}\quad x < 0} \]
Secondo me quella corretta è la (1), dato che la funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, ma su alcuni testi e su Internet ho trovato la (2).
D'altronde, se così fosse, non varrebbe più l'identità
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x \]
dato che \( \vert x \vert \) è definita anche per $ x = 0 $.
Qual è la definizione corretta?
Risposte
Ciao!
Ebbeh? Mica $\text{sgn}x$ è definita come la derivata di $|x|$...
Non c'è una definizione corretta, c'è chi preferisce la prima e chi la seconda. Utilizzando la (1), l'identità che proponi continua a valere, ma per $x\ne 0$ (mi pare abbastanza ovvio
). E' come dire che $x^2/x=x$ $\forall x\ne 0$.
Secondo me quella corretta è la (1), dato che la funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine
Ebbeh? Mica $\text{sgn}x$ è definita come la derivata di $|x|$...
Non c'è una definizione corretta, c'è chi preferisce la prima e chi la seconda. Utilizzando la (1), l'identità che proponi continua a valere, ma per $x\ne 0$ (mi pare abbastanza ovvio
). E' come dire che $x^2/x=x$ $\forall x\ne 0$.
Se vuoi una spiegazione pesante: la funzione signum definita in (1) coincide con la derivata del valore assoluto, ove essa esiste; inoltre, essa è una funzione a variazione limitata sull'intervallo \([-\pi;+\pi]\), per il test di Dirichlet-Jordan essa è sviluppabile in serie di Fourier e ti trovi una serie trigoniometrica che converge a \(0\) in \(0\), ovvero la si estende per comodità alla funzione signum definita in (2)!
Invece, la spiegazione leggera è che ognuno se la adatta all'utilizzo che vuole.
Invece, la spiegazione leggera è che ognuno se la adatta all'utilizzo che vuole.
Quindi, se ho capito bene, io scelgo ad arbitrio quella che mi è più comoda.
Ad esempio, se scegliessi la (1), potrei scrivere
\[ \frac{d}{dx} \vert x \vert = \text{sgn}\ x \]
e dovrei scrivere
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x,\ x \ne 0 \]
Se invece scegliessi la (2), avrei
\[ \frac{d}{dx} \vert x \vert = \text{sgn}\ x,\ x \ne 0 \]
e
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x \]
Ho capito bene?
Ad esempio, se scegliessi la (1), potrei scrivere
\[ \frac{d}{dx} \vert x \vert = \text{sgn}\ x \]
e dovrei scrivere
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x,\ x \ne 0 \]
Se invece scegliessi la (2), avrei
\[ \frac{d}{dx} \vert x \vert = \text{sgn}\ x,\ x \ne 0 \]
e
\[ \vert x \vert = x\ \text{sgn}\ x \]
Ho capito bene?
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