Definizione alternativa continuità

[lorenzo1234567]

Buonasera, sto frequentando il corso di Analisi I all'università e oggi il professore ci ha mostrato un'alternativa alla classica definizione di continuità:
\( \forall \varepsilon > 0 \) \( \exists \delta > 0 \) \( |f(x) - f(x_0)|<\varepsilon \) \( \forall x\epsilon R \) \( |x-x_0|<\delta \) \( \Leftrightarrow \) $ AA {x_n} $ $ lim_(n -> infty) x_n = x_0 $ $ lim_(n -> infty) y_n = lim_(n -> infty) f(y_n)=f(x_o) $

Non riesco però a capire minimamente cosa significhi né come poterla utilizzare. Sapreste aiutarmi?

[gugo82]

È il cosiddetto Teorema Ponte o Caratterizzazione sequenziale della continuità.
Lo trovi enunciato meglio su ogni testo di Analisi I.

[vict85]

È importante osservare che la continuità sequenziale non è equivalente alla continuità in alcuni spazio piuttosto "degeneri"[nota]Seppur sia possibile generalizzare il concetto di successione e far funzionare tutto.[/nota]. Ma questo lo vedrai eventualmente in qualche corso di topologia generale. Infatti, la continuità è un concetto topologico (di fatto la topologia è nata per generalizzare il concetto di continuità dei primi corsi di analisi a spazi molto più generali). Esiste una definizione/caratterizzazione di continuità per ogni differente definizione di topologia su uno spazio ( usando gli aperti, i chiusi, gli intorni, l'operatore interno, l'operatore chiusura, insieme derivato e penso anche altri ). A questo si aggiunge il concetto di sequenzialmente continuo. Comunque sono cose che vedrai più avanti.

Concordo con Gugo sul fatto che il testo da te riportato non è tra i più chiari, si può trovare facilmente una migliore caratterizzazione sui libri o le dispense.