Definire una funzione continua tale che:

[ale.pk89]

Ciao ragazzi, ho un problema con un esercizio che mi sono ritrovato all'esame e non so come risolverlo.
Mi viene chiesto di individuare una funzione continua (f: R->R) tale che:

asintoto orizzontale dx = +3

asintoto orizzontale sx = -2

f(1)=0


Sapreste identificare quale funzione soddisfa queste condizioni? io proprio non ne vengo fuori...

(Sono riuscito, disegnando il grafico, a capire che la funzione è del tipo f(x)= m arctgx+q ma poi, non riesco ad individuare dei valori soddisfacenti per m e q...)

[Rigel1]

Ovviamente ne trovi quante ne vuoi, ad esempio
[tex]f(x) =
\begin{cases}
-2, & se\ x<-1,\\
x-1, & se\ -1 \leq x \leq 4,\\
3, & se\ x > 4.
\end{cases}[/tex]

[ale.pk89]

Ma se provi a disegnare il grafico usando gli asintoti e f(1), non esce un grafico simile ad f(x)=arctgx?

[Rigel1]

Beh, tu hai solo chiesto di individuare una funzione continua tale che etc etc, non una funzione continua simile a un'arcotangente

[gugo82]

Visto che condizioni da soddisfare sono tre, occorrono tre parametri.

Io proverei con qualcosa del genere:

[tex]$f(x;m,p,q)=m\arctan (x-p)+q$[/tex]...

[ale.pk89]

Sì ok scusate, diciamo che la funzione debba essere simile ad arctgx... Partendo dalla forma generale: m arctg (x-p) +q... Come faccio a determinare i valori dei tre parametri?


(io avevo provato partendo da: marctgx+q, a fare un sistema con i limiti (cioè gli asintoti) e f(1), ma mi risultano sempre 2 valori diversi per uno dei parametri, e il sistema risulta impossibile...)

[gugo82]

Si vede a occhio che [tex]$m,q$[/tex] sono determinabili risolvendo un sistema lineare (che si ottiene imponendo le condizioni ai limiti); d'altra parte, il valore di [tex]$p$[/tex], una volta determinati gli altri due parametri, si ricava facilmente.