Def Funzione Misurabile
Salve,
ho difficoltà a capire intuitivamente la definizione di FUNZIONE NUMERABILE.
La definizione mi riporta:
Sia $f: RR^n \to RR$ diremo che $f$ è numerabile se $AA$ $t in RR$ l'insieme
$f^-1 (t,+infty)$ = ${x in RR^n : f(x) > t}$ è misurabile.
L'insieme in questione potrebbe essere vuoto e quindi di misura zero?
In "soldoni" funzione misurabile vuol dire che il dominio deve essere misurabile ?
Nell'argomentare la definizione, ponendo $f^-1 (t,+infty)$ con ${ f > t}$, mi riporta anche
condizioni equivalenti alla misurabilità si hanno imponendo la misurabilità di tutti gli insiemi ${ f >= t}$ o, passando ai complementari la misurabilità di tutti gli insiemi ${ f < t}$ oppure di tutti gli insiemi ${ f <= t}$ si ha infatti
${ f >= t} = nnn_{h=1} ^infty { f > t -1/h}$ ${ f > t} = uuu_{h=1} ^infty { f >= t + 1/h}$
Questa ultima parte non è per niente chiara, sareste così gentili da darmi una mano a capire il concetto, magari anche in modo intuitivo.
Mi scuso in anticipo se sono domande banali ma mi sfugge decisamente il concetto.
ho difficoltà a capire intuitivamente la definizione di FUNZIONE NUMERABILE.
La definizione mi riporta:
Sia $f: RR^n \to RR$ diremo che $f$ è numerabile se $AA$ $t in RR$ l'insieme
$f^-1 (t,+infty)$ = ${x in RR^n : f(x) > t}$ è misurabile.
L'insieme in questione potrebbe essere vuoto e quindi di misura zero?
In "soldoni" funzione misurabile vuol dire che il dominio deve essere misurabile ?
Nell'argomentare la definizione, ponendo $f^-1 (t,+infty)$ con ${ f > t}$, mi riporta anche
condizioni equivalenti alla misurabilità si hanno imponendo la misurabilità di tutti gli insiemi ${ f >= t}$ o, passando ai complementari la misurabilità di tutti gli insiemi ${ f < t}$ oppure di tutti gli insiemi ${ f <= t}$ si ha infatti
${ f >= t} = nnn_{h=1} ^infty { f > t -1/h}$ ${ f > t} = uuu_{h=1} ^infty { f >= t + 1/h}$
Questa ultima parte non è per niente chiara, sareste così gentili da darmi una mano a capire il concetto, magari anche in modo intuitivo.
Mi scuso in anticipo se sono domande banali ma mi sfugge decisamente il concetto.
Risposte
Dai un'occhiata alla figura di Wikipedia sull'integrale di Lebesgue:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_i ... egrals.png
(è quella in rosso).
Questa figura ti dice che l'integrale di una funzione $f$ si approssima con questa somma:
\[
\sum_j (t_{j+1}-t_j)\lvert\{ t_j\le f(x)< t_{j+1}\}\rvert.
\]
(il singolo addendo è esattamente l'area di uno di quei rettangoli rossi, se ci pensi un attimo).
Per poter formare questa somma ti occorre che ognuno degli insiemi \(\{t_j\le f < t_{j+1}\}\) sia misurabile. E questo è esattamente ciò che si richiede nella definizione di misurabilità.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_i ... egrals.png
(è quella in rosso).
Questa figura ti dice che l'integrale di una funzione $f$ si approssima con questa somma:
\[
\sum_j (t_{j+1}-t_j)\lvert\{ t_j\le f(x)< t_{j+1}\}\rvert.
\]
(il singolo addendo è esattamente l'area di uno di quei rettangoli rossi, se ci pensi un attimo).
Per poter formare questa somma ti occorre che ognuno degli insiemi \(\{t_j\le f < t_{j+1}\}\) sia misurabile. E questo è esattamente ciò che si richiede nella definizione di misurabilità.
"waltermath":
La definizione mi riporta:
Sia $f: RR^n \to RR$ diremo che $f$ è numerabile se $AA$ $t in RR$ l'insieme
$f^-1 (t,+infty)$ = ${x in RR^n : f(x) > t}$ è misurabile.
Le $x in RR^n$ sono tutte quelle che fanno assumere alla funzione un valore $f(x) > t$.
Considerando che la proprietà vale $AA$ $t in RR$ chi mi garantisce che preso un valore arbitrario di $t$ tali $x in RR^n$ esistano?
Supponendo che la funzione sia limitata mi aspetto che da un certo $t$ in poi la controimmagine ${x in RR^n : f(x) > t}$ sia vuota. In questo caso l'insieme è ancora misurabile?
oppure
in tale caso se la funzione è limitata avremo che $AA t in RR$ esisterà sicuramente ${x in RR^n : f(x) < t}$
e quindi considero solo tale insieme per definire che la funzione è misurabile?
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