Deduzione euristica della funzione di Gauss

[TS778LB]

Partendo dall’ipotesi che la distribuzione $ f(z) $ degli errori casuali $ z $, commessi nel campionamento di una variabile casuale continua $ x $ , debbano essere distribuiti simmetricamente intorno al valore $ z=0 $ e che in tal punto si abbia un massimo di $ f(z) $ e che tale funzione tenda a 0 per $ z->\pm\infty $, si utilizza come prototipo di $ f(z) $ una funzione tale che:
$ \frac{df(z)}{dz}=zf(z) $
In questa relazione riesco a comprendere che la derivata si annulla per $ z=0 $ (massimo) ma non riesco a capire come siano inclusi in tale condizione il comportamento di f per z che tende ad infinito e la simmetria rispetto all’origine

[gugo82]

Beh, si tratta di fare un po' di studio qualitativo della soluzione.

Permettimi di cambiare il nome delle variabili: denotando con $x$ quella indipendente e con $y$ quella dipendente, la EDO si riscrive:

$y^\prime (x) = x y(x)$.

Da qui si vede che qualcosa non funziona.
Infatti il secondo membro, $f(x,y)=xy$, è positivo nel primo e nel terzo quadrante, negativo nel secondo e nel quarto, e nullo sugli assi, dunque le soluzioni della EDO sono strettamente crescenti [risp. decrescenti] non appena i loro grafici cadono nel primo o terzo [risp. secondo o quarto] quadrante ed hanno punti stazionari lì dove i grafici toccano gli assi.
Ma questo non è il comportamento della gaussiana... Quindi c'è un errore nella EDO. Quale?


Hint: Attenzione ai segni...

[TS778LB]

$ y'(x)=-xy(x) $
Così la soluzione è crescente nel secondo quadrante e decrescente nel primo. Giusto? Però non capisco come facciamo a fare questi ragionamenti se prima non conosciamo $ y(x) $. Guardando al secondo membro come ad una funzione di due variabili, la derivata si annullerebbe su tutto l'asse y....

[TS778LB]

Saresti così gentile da spiegarmi come si effettua lo studio qualitativo che hai utilizzato? Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Ah, ecco...

Il problema dello studio qualitativo delle soluzioni è che devi conoscere discretamente bene la teoria delle EDO.

Vediamo un po' cosa si può dire delle soluzioni di:

(G) $y^\prime (x) = - x * y(x)$.

1. Esistenza ed unicità delle soluzioni globali.

Visto che il secondo membro della EDO, $f(x,y)=- x * y$, è una funzione definita in $Omega := RR^2$ ed ivi di classe $C^oo$ e lineare in $y$, il teorema di esistenza ed unicità globale delle soluzioni al problema di Cauchy per le EDO lineari ti assicura che comunque scegli un punto $(x_0,y_0) in Omega$ esiste un'unica soluzione massimale $y(x) = y(x;x_0,y_0)$ del PdC:

$\{ (y^\prime (x) = - x * y(x)), (y(x_0) = y_0):}$

che è anche globale, ossia definita in tutto $RR$.

2. Regolarità delle soluzioni globali.

Per noti risultati di regolarità, ogni soluzione globale è di classe $C^oo(RR)$ ed, anzi, visto che $f(x,y)$ è analitica, anche le soluzioni globali della EDO sono analitiche in $RR$.

3. Soluzioni stazionarie.

Visto che $f(x,0) =0$ per ogni $x in RR$, la funzione $y^** (x) =0$ è una soluzione globale di (G) e, per unicità, è l'unica a soddisfare ogni PdC con punto iniziale del tipo $(x_0,0)$.

4. Segno delle soluzioni globali.

Lo stesso argomento di cui sopra, cioè l'unicità globale della soluzione del PdC, assicura che ogni altra soluzione globale di (G) ha grafico che non interseca quello di $y^**(x)$, il quale coincide con l'asse delle ascisse; per questo motivo, ogni altra soluzione globale della EDO assegnata o è ovunque positiva o ovunque negativa, i.e. o si ha $y(x) > 0$ per ogni $x in RR$ oppure $y(x) < 0$ per ogni $x in RR$.

5. Monotonia.

Il secondo membro della EDO è positivo [risp. negativo, nullo] nel secondo e quarto quadrante [risp. primo e terzo quadrante, sugli assi], i.e.:

$f(x,y) > 0 <=> (x,y) in Omega^+ := \{x > 0, y <0\} uu \{x <0, y >0\}$

$f(x,y) < 0 <=> (x,y) in Omega^(-) := \{x > 0, y > 0\} uu \{ x <0, y < 0\}$

$f(x,y) = 0 <=> (x,y) in Omega^0 := \{x = 0\} uu \{ y = 0\}$.

Da ciò segue che ogni soluzione globale $y(x)$ positiva è strettamente crescente in $]-oo, 0]$ e strettamente decrescente in $[0,+oo[$, quindi prende massimo assoluto in $0$.
Analogamente, ogni soluzione globale $y(x)$ che sia negativa è strettamente decrescente in $]-oo, 0]$ e strettamente crescente in $[0,+oo[$, assumendo valore minimo in $0$.

6. Convessità.

Derivando m.a.m. la EDO troviamo:

$y^{\prime \prime}(x) = -y(x) - x y^\prime(x) = - y(x) + x^2 y(x)$,

ossia:

$y^{\prime \prime}(x) = (x^2 - 1) y(x)$.

Il secondo membro è positivo in $Omega^uu := \{ x<-1 vv x > 1, y >0\} uu \{ -1 1, y < 0\} uu \{ -1 0\}$.
Da ciò segue che le soluzioni globali positive sono convesse [risp. concave] in $]-oo, -1]$ ed in $[1,+oo[$ [risp. in $[-1,1]$] e che i loro grafici hanno punti di flesso d'ascisse $+-1$. Viceversa, le soluzioni globali negative sono concave [risp. convesse] in $]-oo, -1]$ ed in $[1,+oo[$ [risp. in $[-1,1]$] e che i loro grafici hanno punti di flesso d'ascisse $+-1$.

7. Limitatezza, asintoti ed altre amenità.

Vista la monotonia delle soluzioni, per le soluzioni globali positive valgono le disuguaglianze $0< y(x) <= y(0) =: M$.
Le soluzioni positive sono limitate e, di nuovo per monotonia, esistono finiti i limiti $lim_(x -> +-oo) y(x) = l^(+-)$. I valori $l^(+-)$ soddisfano le disuguaglianze $0<= l^(+-) < M$.
Visto che le soluzioni globali positive sono anche convesse intorno a $+-oo$, esistono entrambi i limiti $lim_(x -> +-oo) y^\prime (x)$ ed il cosiddetto teorema dell'asintoto garantisce che entrambi tali limiti siano nulli.
Dato che $lim_(x -> +-oo) y^\prime (x) = lim_(x -> +-oo) -x y(x)$, l'unica chance che ha il primo membro di esser nullo è che anche $l^(+-) = lim_(x->+-oo) y(x)= 0$; pertanto, il grafico di $y(x)$ presenta a sinistra ed a destra asintoto orizzontale di equazione $y=0$ (asse delle ascisse, che coincide col grafico della soluzione stazionaria $y^**$).[nota]Stessimo studiando un sistema dinamico, diremmo che $y^**$ è attrattiva...[/nota]
Lo stesso discorso si ripete parola per parola per le soluzioni globali negative.

Infine, scelta una soluzione globale $y(x)$ e detto $y_0 := y(0)$, consideriamo la funzione:

$eta(x) := y(-x)$;

tale funzione è derivabile e risulta:

$eta^\prime (x) = - y^\prime (-x) = -[-(-x) y(-x)] = -x eta(x)$

per ogni $x in RR$ (per passare dal 2° al 3° membro ho usato la EDO (G soddisfatta da $y(x)$), nonché $eta(0) = y(0) = y_0$; conseguentemente, $eta$ risolve lo stesso PdC di cui $y$ è soluzione globale e, per unicità, da ciò segue che $eta(x) = y(x)$, ossia $y(-x) = y(x)$. Quindi $y(x)$ è funzione pari.

Detto ciò, hai mostrato che ogni soluzione globale positiva ha tutte le proprietà qualitative della gaussiana centrata in $0$ senza conoscerne la legge di assegnazione, ma sfruttando unicamente la EDO che essa soddisfa.

Chiaro è che, in questo caso, sarebbe più semplice risolvere esplicitamente la EDO (il cui integrale generale è $y(x;C) := C e^{- x^2/2}$) per ricavare le stesse informazioni con meno sforzo.