Decrescita
Salve a tutti,
la domando che sto per fare è effettivamente molto banale, ma, sarà la stanchezza, non sono sicuro.
Se mi viene chiesto di studiare "quanto rapidamente una funzione decresce, quando il suo argomento tende a zero", devo studiare il
$lim_{x->0} f''(x)$ ?
la domando che sto per fare è effettivamente molto banale, ma, sarà la stanchezza, non sono sicuro.
Se mi viene chiesto di studiare "quanto rapidamente una funzione decresce, quando il suo argomento tende a zero", devo studiare il
$lim_{x->0} f''(x)$ ?
Risposte
Direi di no; immagino che la domanda riguardi il calcolo dell'ordine di infinitesimo della funzione.
MMh no però in alcuni casi, per determinare l'ordine di infinitesimo di una funzione in un punto $x_0$ , può usare il seguente :
Sia $f : A ->RR$ , $A sube RR$. $x_0 \in AnnDr(A)$. Supponiamo che $EE U \in I_{x_0} t.c$ f sia derivabile in $x_0$ al più n volte. Supponiamo inoltre che $f$ è infinitesima in $x_0$
Detto $K = { n \in NN | f^n(x_0)!=0}$.
si ha che $f$ è un infinitesimo di ordine $minK$.
Spero di non aver detto fesserie!
Esempio :
Sia $f : A ->RR$ , $A sube RR$. $x_0 \in AnnDr(A)$. Supponiamo che $EE U \in I_{x_0} t.c$ f sia derivabile in $x_0$ al più n volte. Supponiamo inoltre che $f$ è infinitesima in $x_0$
Detto $K = { n \in NN | f^n(x_0)!=0}$.
si ha che $f$ è un infinitesimo di ordine $minK$.
Spero di non aver detto fesserie!
Esempio :
Grazie Rigel per la risposta. In realtà non si tratta di un esercizio, bensì di un'affermazione trovata su un libro scritto dall'autorevole Mandelbrot. Ora non starò ad esporre tutta la questione, ma in soldoni, ho un insieme di funzioni decrescenti e devo "classificarle" in base a quanto rapidamente decrescono per $x->0$. A seconda della rapidità col quale decrescono, seguono importanti implicazioni.
Non è forse più semplice e sensato, ora che ci penso, studiare
$lim_{x->0} f'(x)$ se $f'(x)$ discontinua in $0$ ovver $f'(0)$ se continua?
$lim_{x->0} f'(x)$ se $f'(x)$ discontinua in $0$ ovver $f'(0)$ se continua?
Come ha già detto anche Kashaman, se \(f'(0) = 0\) sai solo che l'infinitesimo è di ordine \(\geq 1\). Dipende se questa informazione ti è sufficiente o meno.
Nel mio caso però
$lim_{x->0} f'(x)=-oo$
non essendo definita in $x=0$... La mia conclusione era che la funzione $f(x)$ decrese molto rapidamente avvicinandosi allo zero. Mi rendo conto che detta così, risulti molto qualitativa come informazione, ma è corretto?
$lim_{x->0} f'(x)=-oo$
non essendo definita in $x=0$... La mia conclusione era che la funzione $f(x)$ decrese molto rapidamente avvicinandosi allo zero. Mi rendo conto che detta così, risulti molto qualitativa come informazione, ma è corretto?
Mi sa che devi dire cosa intendi per "decresce molto rapidamente".
Se \(f\) è continua e \(\lim_{x\to 0} f'(x) = -\infty\), allora \(f\) ha un flesso a tangente verticale per \(x=0\) (con la funzione localmente decrescente).
Se \(f\) è continua e \(\lim_{x\to 0} f'(x) = -\infty\), allora \(f\) ha un flesso a tangente verticale per \(x=0\) (con la funzione localmente decrescente).
No, nel caso di specie, nemmeno $f(x)$ è definita in $0$ e pertanto $x=0$ è un asintoto verticale...
Tuttavia, leggendo oltre, forse mi sembra di aver frainteso ciò che l'autore scrive. Infatti, riporto la mia traduzione:
a) la funzione $f$ risulta mild random se $f$, attorno allo zero, cresce non più di $|ln(x)|$;
b) la funzione $f$ risulta slow random con momenti delocalizzati se $f$, attorno allo zero, cresce più di $|ln(x)|$ ma meno di $|ln(x)|^{1/omega}$ con $0
c) la funzione $f$ risulta slow random con momenti localizzati se $f$, attorno allo zero, cresce più di $|ln(x)|^{1/2}$, ma meno di $exp[|ln(x)|^{gamma}]$ con $gamma<1$;
d) la funzione $f$ risulta pre-wild random se $f$, attorno allo zero, cresce più di $exp[|ln(x)|^{gamma}]$ con $gamma<1$, ma meno di $x^{-1/2}$.
C'è un modo più elegante per formalizzare le varie condizioni? E soprattutto risciresti a spiegarmi in altri termini la faccenda? Grazie in anticipo
Tuttavia, leggendo oltre, forse mi sembra di aver frainteso ciò che l'autore scrive. Infatti, riporto la mia traduzione:
a) la funzione $f$ risulta mild random se $f$, attorno allo zero, cresce non più di $|ln(x)|$;
b) la funzione $f$ risulta slow random con momenti delocalizzati se $f$, attorno allo zero, cresce più di $|ln(x)|$ ma meno di $|ln(x)|^{1/omega}$ con $0
c) la funzione $f$ risulta slow random con momenti localizzati se $f$, attorno allo zero, cresce più di $|ln(x)|^{1/2}$, ma meno di $exp[|ln(x)|^{gamma}]$ con $gamma<1$;
d) la funzione $f$ risulta pre-wild random se $f$, attorno allo zero, cresce più di $exp[|ln(x)|^{gamma}]$ con $gamma<1$, ma meno di $x^{-1/2}$.
C'è un modo più elegante per formalizzare le varie condizioni? E soprattutto risciresti a spiegarmi in altri termini la faccenda? Grazie in anticipo
Nel post iniziale avevi scritto
e invece adesso si viene a scoprire che ti interessa quanto cresce...
"fede.unive":
"quanto rapidamente una funzione decresce, quando il suo argomento tende a zero", ...
e invece adesso si viene a scoprire che ti interessa quanto cresce...
Si in effetti hai perfettamente ragione... Ti confesso che questa caratterizzazione (a-d) l'ho letta quando l'ho scritta e non ci ho ragionato abbastanza. l'Mi rendo conto che abbia poco senso... O una funzione cresce o decresce (o è costante).
C'è qualcosa che non va.
C'è qualcosa che non va.
Forse si intende "decresce rapidamente a \(-\infty\)" (e dunque cresce rapidamente in modulo).
Ma vabbé, non è un semplice confronto tra infiniti?...
Probabilmente, puoi formalizzare tutto con i simboli di Landau.
Ad esempio, mi pare che la (c) si possa riscrivere:
\[
f(x) = \Omega (|\log x|^{1/2}) \quad \text{e} \quad f(x)=\text{o} (\exp(|\log x|^{1/\gamma}))\ \text{ con } \gamma <1
\]
rendendo compatte le due proprietà:
\[
\begin{cases}
\exists K>0,\ \exists I\text{ intorno di } 0:\ \forall x\in I,\ f(x)\geq K\ |\log x|^{1/2} &\text{e} \\
\exists \gamma <1:\ \forall \varepsilon >0,\ \exists J\text{ intorno di }0:\ \forall x\in J,\ f(x)\leq \varepsilon\ \exp(|\log x|^{1/\gamma})\; .
\end{cases}
\]
Probabilmente, puoi formalizzare tutto con i simboli di Landau.
Ad esempio, mi pare che la (c) si possa riscrivere:
\[
f(x) = \Omega (|\log x|^{1/2}) \quad \text{e} \quad f(x)=\text{o} (\exp(|\log x|^{1/\gamma}))\ \text{ con } \gamma <1
\]
rendendo compatte le due proprietà:
\[
\begin{cases}
\exists K>0,\ \exists I\text{ intorno di } 0:\ \forall x\in I,\ f(x)\geq K\ |\log x|^{1/2} &\text{e} \\
\exists \gamma <1:\ \forall \varepsilon >0,\ \exists J\text{ intorno di }0:\ \forall x\in J,\ f(x)\leq \varepsilon\ \exp(|\log x|^{1/\gamma})\; .
\end{cases}
\]
Innanzi tutto grazie a Rigel e gugo82 per i preziosi interventi.
Sul discorso della crescenza/decrescenza, ho ricontrollato e $f$ risulta essere la funzione inversa di una funzione decrescente. Ne segue che anche $f$ dovrebbe essere decrescente, giusto?
Sul discorso della crescenza/decrescenza, ho ricontrollato e $f$ risulta essere la funzione inversa di una funzione decrescente. Ne segue che anche $f$ dovrebbe essere decrescente, giusto?
Giusto.
"fede.unive":
b) la funzione \( f \) risulta slow random con momenti delocalizzati se \( f \), attorno allo zero, cresce più di $ |ln(x)| $ ma meno di $ |ln(x)|^{1/omega} $ con $ omega<1 $;
Il discorso della crescita potrebbe essere del tipo del grafico.
Ovvero $f$ "raggiunge" infinito prima di $|ln(x)|$? Ossia:
$lim_{x->0^+} f(x)/ { |ln(x)| }=+oo$
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