Decrescenza di una successione

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Come posso provare che la successione $a_n=1-nsin(1/n)$ è definitivamente decrescente?
Con la definizione risulta abbastanza complicato; ho pensato al passaggio alla variabile continua ma calcolando la derivata della funzione ottenuta, la situazione non migliora!
Avete qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente

[dissonance]

C'è un bel post di Gugo in cui si illustra una tecnica per dirimere questioni come questa qui, ma non lo trovo...

[Andrea902]

Capito. Ma in ogni caso quale traccia risolutiva più agevole potrei seguire?

[dissonance]

Secondo me ti conviene dimostrare che [tex]\dfrac{\sin 1/n}{1/n}[/tex] è definitivamente crescente, considerandola come la composizione di [tex]\dfrac{\sin x}{x}[/tex] e [tex]1/n[/tex]. In un intorno destro di [tex]0[/tex], [tex]\dfrac{\sin x}{x}[/tex] è decrescente; anche [tex]1/n[/tex] è decrescente, perciò la composizione sarà crescente. A te sistemare i dettagli.

P.S.: ricordati il grafico di [tex]\dfrac{\sin x}{x}[/tex]:
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("(sin (x))/x");[/asvg]