Decomposizione per infittimento e relazione d'ordine
Salve,
Non capisco questo concetto:
Se io ho una partizione, per esempio fatta da:
$P={x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}$ e dato un elemento $x'$ che rispetta l'ordinamento degli elementi di $P$ voglio costruire una partizione $P'={x_0, x_1, x', x_2, x_3, x_4, x_5}$ perchè tra $P$ e $P'$ c'è una relazione d'ordine parziale e non totale visto che comunque uno dei due ha elemnti dell'altro? Non si può dire che $P\sub P'$ ?
Non capisco questo concetto:
Se io ho una partizione, per esempio fatta da:
$P={x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}$ e dato un elemento $x'$ che rispetta l'ordinamento degli elementi di $P$ voglio costruire una partizione $P'={x_0, x_1, x', x_2, x_3, x_4, x_5}$ perchè tra $P$ e $P'$ c'è una relazione d'ordine parziale e non totale visto che comunque uno dei due ha elemnti dell'altro? Non si può dire che $P\sub P'$ ?
Risposte
Un momento.
La relazione d'ordine [tex]$\subseteq$[/tex] è un ordine parziale nella classe delle partizioni di [tex]$[a,b]$[/tex], cioè in:
[tex]$\mathfrak{P} :=\{P\subseteq [a,b] :\ P \text{ è una partizione di $[a,b]$}\}$[/tex];
per provare ciò basta prendere [tex]$x\neq y\in ]a,b[$[/tex] e constatare che per le due partizioni [tex]$P_1=\{ a,x,b\}, P_2=\{ a, y,b\} \in \mathfrak{P}$[/tex] non si ha né [tex]$P_1\subseteq P_2$[/tex] né [tex]$P_2\subseteq P_1$[/tex] (quindi [tex]$P_1,P_2$[/tex] non sono confrontabili rispetto a [tex]$\subseteq$[/tex]).
Tuttavia è chiaro che le partizioni che si ottengono per infittimenti consecutivi da una partizione data* formano una sottofamiglia totalmente ordinata da [tex]$\subseteq$[/tex] in [tex]$\mathfrak{P}$[/tex].
__________
* Intendo una famiglia costruita più o meno come segue: fisso una partizione di "partenza" [tex]$P$[/tex] e scelgo, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], un insieme finito [tex]$X_n$[/tex] di punti distinti di [tex]$[a,b]$[/tex] (per non banalizzare le cose, posso ad esempio scegliere gli [tex]$X_n$[/tex] in modo che [tex]$\text{card} (X_n) <\text{card} (X_{n+1})$[/tex]); considero poi la famiglia costituita da [tex]$P_0=P$[/tex], [tex]$P_1=P\cup X_1$[/tex], [tex]$P_2=P_1\cup X_2=P\cup \left( \bigcup_{k=1}^2 X_k\right)$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex], [tex]$P_n=P_{n-1}\cup X_n =P\cup \left( \bigcup_{k=1}^n X_k\right)$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex].
Evidentemente dalla stessa definizione dei [tex]$P_n$[/tex] discende che la famiglia [tex]$\{ P_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathfrak{P}$[/tex] è totalmente ordinata da [tex]$\subseteq$[/tex].
La relazione d'ordine [tex]$\subseteq$[/tex] è un ordine parziale nella classe delle partizioni di [tex]$[a,b]$[/tex], cioè in:
[tex]$\mathfrak{P} :=\{P\subseteq [a,b] :\ P \text{ è una partizione di $[a,b]$}\}$[/tex];
per provare ciò basta prendere [tex]$x\neq y\in ]a,b[$[/tex] e constatare che per le due partizioni [tex]$P_1=\{ a,x,b\}, P_2=\{ a, y,b\} \in \mathfrak{P}$[/tex] non si ha né [tex]$P_1\subseteq P_2$[/tex] né [tex]$P_2\subseteq P_1$[/tex] (quindi [tex]$P_1,P_2$[/tex] non sono confrontabili rispetto a [tex]$\subseteq$[/tex]).
Tuttavia è chiaro che le partizioni che si ottengono per infittimenti consecutivi da una partizione data* formano una sottofamiglia totalmente ordinata da [tex]$\subseteq$[/tex] in [tex]$\mathfrak{P}$[/tex].
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* Intendo una famiglia costruita più o meno come segue: fisso una partizione di "partenza" [tex]$P$[/tex] e scelgo, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], un insieme finito [tex]$X_n$[/tex] di punti distinti di [tex]$[a,b]$[/tex] (per non banalizzare le cose, posso ad esempio scegliere gli [tex]$X_n$[/tex] in modo che [tex]$\text{card} (X_n) <\text{card} (X_{n+1})$[/tex]); considero poi la famiglia costituita da [tex]$P_0=P$[/tex], [tex]$P_1=P\cup X_1$[/tex], [tex]$P_2=P_1\cup X_2=P\cup \left( \bigcup_{k=1}^2 X_k\right)$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex], [tex]$P_n=P_{n-1}\cup X_n =P\cup \left( \bigcup_{k=1}^n X_k\right)$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex].
Evidentemente dalla stessa definizione dei [tex]$P_n$[/tex] discende che la famiglia [tex]$\{ P_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathfrak{P}$[/tex] è totalmente ordinata da [tex]$\subseteq$[/tex].
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