Decomposizione di Helmholtz
Ciao, amici! So che esiste il teorema di decomposizione di Helmholtz che garantisce che un campo vettoriale sufficientemente regolare [supporrei che basi che sia di classe \(C^2(\mathring{A})\)] \(\boldsymbol{F}\) definito su un'opportuna regione $V\subset\mathbb{R}^3$ [che soddisfi determinate condizioni di regolarità; chissà se sia sufficiente che ad esso si applichino le condizioni per cui vale il teorema dell divergenza e che \(\bar{V}\subset\mathring{A}\)...] può essere espresso come \[\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\nabla\left[\oint_{\partial V}\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{N}_e(\boldsymbol{x}')}{4\pi\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\|}d\sigma'-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}')}{4\pi\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\|}dV'\right]\]\[+\nabla\times\left[\int_{V}\frac{1}{4\pi\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\|}\nabla'\times \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}')dV'+\oint_{\partial V}\frac{1}{4\pi\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\|}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}')\times\boldsymbol{N}_e(\boldsymbol{x}')d\sigma'\right]\]dove suppongo che gli integrali $\int_V...dV'$, qualora \(\boldsymbol{x}\in V\), siano da intendersi come limiti di iegrali di Riemann o integrali di Lebesgue.
Tutte le dimostrazioni che ne trovo, però, usano $\delta$ di Dirac e commutazioni non spiegate tra segni di integrale ed operatori differenziali che mi causano grattacapi analoghi a questi.
Qualcuno potrebbe postarne una dimostrazione rigorosa e chiara (cioè con la spiegazione del motivo per cui una certa commutazione tra segni di integrale e $\nabla$ è giustificata) o fornire un link ad essa od un riferimento bibliografico ad un testo che la presenti?
$\infty$ grazie a tutti!
Tutte le dimostrazioni che ne trovo, però, usano $\delta$ di Dirac e commutazioni non spiegate tra segni di integrale ed operatori differenziali che mi causano grattacapi analoghi a questi.
Qualcuno potrebbe postarne una dimostrazione rigorosa e chiara (cioè con la spiegazione del motivo per cui una certa commutazione tra segni di integrale e $\nabla$ è giustificata) o fornire un link ad essa od un riferimento bibliografico ad un testo che la presenti?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Credo di averne trovato una dimostrazione per il particolare caso di \(\boldsymbol{F}\in C^2(\mathbb{R}^3)\) a supporto compatto, \(\boldsymbol{x}\in\mathring{V}\) and $V$ soddisfacente le ipotesi del teorema della divergenza di Gauss.
Immagino che in fisica normalmente \(\boldsymbol{F}\) sia una densità, quindi ragionevolmente nulla al di fuori di uno spazio limitato... o \(\boldsymbol{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\) è un'ipotesi troppo restrittiva per le applicazioni del teorema di Helmholtz?
Immagino che in fisica normalmente \(\boldsymbol{F}\) sia una densità, quindi ragionevolmente nulla al di fuori di uno spazio limitato... o \(\boldsymbol{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\) è un'ipotesi troppo restrittiva per le applicazioni del teorema di Helmholtz?
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
in questa pagina ci sono un sacco di versioni di questo teorema. la sezione "weak formulations" te ne dà addirittura alcune versioni in ipotesi di regolarità bassissime, tipiche dell'analisi geometrica. oppure la versione con trasformate di Fourier, che mi pare funzioni con la sola ipotesi che il campo vettoriale sia una distribuzione temperata (e quindi, in pratica, che abbia una crescita al più polinomiale).
in questa pagina ci sono un sacco di versioni di questo teorema. la sezione "weak formulations" te ne dà addirittura alcune versioni in ipotesi di regolarità bassissime, tipiche dell'analisi geometrica. oppure la versione con trasformate di Fourier, che mi pare funzioni con la sola ipotesi che il campo vettoriale sia una distribuzione temperata (e quindi, in pratica, che abbia una crescita al più polinomiale).
Molto interessante vedere che la decomposizione in un rotore più un gradiente vale sotto ipotesi molto rilassate. La particolare formulazione
$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi} \nabla\times\int_V \frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mu' -\frac{1}{4\pi} \nabla\times\oint_{\partial V} \hat{\mathbf{n}}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}dS'$$$$-\frac{1}{4\pi}\nabla \int_V \frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mu' +\frac{1}{4\pi}\nabla\oint_{\partial V} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \cdot\hat{\mathbf{n}}'dS' $$
direi proprio che valga, come credo di essere riuscito a dimostrare a me stesso qui, almeno per $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$, ma suppongo che possa valere sotto ipotesi molto meno ristrette, anche se non sono riuscito a dimostrarlo a me stesso a causa del problema della derivazione sotto i segni di integrale.
Per l'uso che se ne fa in fisica, tuttavia, suppongo che $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$ sia un'ipotesi ragionevole perché $\mathbf{F}$ credo che sia usualmente una densità, o no? Noto anche che, nel caso di campi a decrescita solo come \(\|\mathbf{r}\|^{-2}\) (invece che come \(\|\mathbf{r}\|^{-c}\) con $c>2$), piuttosto comuni in fisica, l'integrale \(\int_{\mathbb{R}^3}\|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\|^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{r}')d\mu'\) potrebbe non esistere, quindi non credo che per tali campi si applichi il teorema, almeno non in modo rigoroso, e questo corrobora il mio sospetto che $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$ sia ciò che si assume normalmente in fisica quando si applica tale teorema... o sbaglio?
$\infty$ grazie!
$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi} \nabla\times\int_V \frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mu' -\frac{1}{4\pi} \nabla\times\oint_{\partial V} \hat{\mathbf{n}}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}dS'$$$$-\frac{1}{4\pi}\nabla \int_V \frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mu' +\frac{1}{4\pi}\nabla\oint_{\partial V} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \cdot\hat{\mathbf{n}}'dS' $$
direi proprio che valga, come credo di essere riuscito a dimostrare a me stesso qui, almeno per $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$, ma suppongo che possa valere sotto ipotesi molto meno ristrette, anche se non sono riuscito a dimostrarlo a me stesso a causa del problema della derivazione sotto i segni di integrale.
Per l'uso che se ne fa in fisica, tuttavia, suppongo che $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$ sia un'ipotesi ragionevole perché $\mathbf{F}$ credo che sia usualmente una densità, o no? Noto anche che, nel caso di campi a decrescita solo come \(\|\mathbf{r}\|^{-2}\) (invece che come \(\|\mathbf{r}\|^{-c}\) con $c>2$), piuttosto comuni in fisica, l'integrale \(\int_{\mathbb{R}^3}\|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\|^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{r}')d\mu'\) potrebbe non esistere, quindi non credo che per tali campi si applichi il teorema, almeno non in modo rigoroso, e questo corrobora il mio sospetto che $\mathbf{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)$ sia ciò che si assume normalmente in fisica quando si applica tale teorema... o sbaglio?
$\infty$ grazie!
Non credo che i fisici si pongano il problema. (AFAIK) Generalmente in fisica si usa supporre che le funzioni abbiano un "decadimento sufficientemente rapido", il che non arriva a supporre che tutto abbia supporto compatto ma quasi. D'altra parte una volta dimostrata la formula per funzioni a supporto compatto uno può velocemente estenderla, per densità, a vari spazi di funzioni in cui le funzioni a supporto compatto sono dense. Sicuramente, ad esempio, la tua dimostrazione si estende senza sforzo ulteriore allo spazio \(W^{1,1}(\mathbb{R}^3)\) delle funzioni integrabili con derivate prime integrabili.
Non che siano questioni così interessanti, francamente. Li vedo più che altro come dettagli tecnici.
Non che siano questioni così interessanti, francamente. Li vedo più che altro come dettagli tecnici.
"dissonance":Ma sai che, invece, trovo la questione molto interessante perché non è che per ogni campo vettoriale valga tale decomposizione[nota]Nonostante certi enunciati ad uso di studenti di fisica o ingegneria che ho trovato in giro. Oltretutto trovo questo modo di spiegare la matematica disastroso dal punto di vista didattico. Mi sono trovato a che fare, su Physics Stackexchange, con gente con titoli altisonanti che non capisce che cosa significhi giustificare matematicamente una commutazione tra integrale e derivata, oltre a non accorgersi che una funzione di tipo \(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}\), \((\mathbf{l},r_i)\mapsto \frac{l_j-r_j}{\|\mathbf{l}-\mathbf{r}\|^3}\) non è proprio continua e limitata, per non parlare di studenti di fisica convinti che basti che due variabili siano indipendenti tra loro per differenziare sotto il segno di integrale o che si possa applicare il teorema della divergenza di Gauss ad una funzione discontinua come \(\frac{\mathbf{y}-\mathbf{x}}{\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|}\) per provare che \(\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|}\right]=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)[/nota].
Non che siano questioni così interessanti, francamente.
"dissonance":Interessantissimo. Non ho alcuna dimestichezza con questo genere di tecniche di generalizzazione. Come si potrebbe procedere?
D'altra parte una volta dimostrata la formula per funzioni a supporto compatto uno può velocemente estenderla, per densità, a vari spazi di funzioni in cui le funzioni a supporto compatto sono dense. Sicuramente, ad esempio, la tua dimostrazione si estende senza sforzo ulteriore allo spazio \(W^{1,1}(\mathbb{R}^3)\) delle funzioni integrabili con derivate prime integrabili.
$\infty$ grazie!!!
Ho dato un'occhiata alla discussione che hai linkato. In realtà credo che molte tra le persone che tu critichi hanno ragione. Uno, ad esempio, ti rimprovera di porre domande troppo piene di distrazioni: io sono d'accordo, se il problema è commutare integrali e derivate non occorre scrivere queste formulone complicate per studiarlo. Se invece il problema è capire l'affidabilità fisica di decomposizioni di questo tipo, bisogna ragionare in termini fisici e non in termini matematici. Tu mischi i due approcci e il risultato è un grande, incomprensibile e noioso casino. Ti scervelli per giorni su questioni di lana caprina senza intaccare nessuna idea significativa né dal punto di vista matematico né dal punto di vista fisico.
Almeno dal lato matematico, queste questioni (come hai abbondantemente visto) sono fastidiose da studiare come stai facendo tu. Ma si tratta di problemi che i matematici si sono già posti da quasi un centinaio di anni e a cui ora c'è una risposta definitiva: la teoria delle "distribuzioni", e tutti gli annessi e connessi. Questo tipo di approccio è più moderno e consiste nell'aggirare i problemi derivanti dalla bruttezza intrinseca dell'operazione di derivata in ipotesi di scarsa regolarità. Ad esempio, nel caso specifico, un matematico dimostra rapidamente la formula che tu vuoi nel caso in cui tutte le funzioni in questione siano regolari e a supporto compatto. Dopodiché si va a mettere in un opportuno spazio di funzioni, dettato in genere dal problema in questione (che NON si limita a dimostrare una formula). Se tutto va come dovrebbe, le funzioni regolari e a supporto compatto sono dense e ambo i membri della formula sono continui rispetto alla topologia di tale spazio. Perciò, la formula si estende per continuità.
Ecco un modo "soft" ma molto efficace di dare un senso a molte formule della fisica matematica. Con l'esperienza, un matematico e un fisico sanno quando una formula è vera o no. Se è vera, si tratta poi di trovare una giustificazione formale per darle un senso rigoroso. Questo è esattamente il procedimento inverso rispetto a ciò che fai tu. Per dirla all'inglese: "you overlook the forest for the trees".
Almeno dal lato matematico, queste questioni (come hai abbondantemente visto) sono fastidiose da studiare come stai facendo tu. Ma si tratta di problemi che i matematici si sono già posti da quasi un centinaio di anni e a cui ora c'è una risposta definitiva: la teoria delle "distribuzioni", e tutti gli annessi e connessi. Questo tipo di approccio è più moderno e consiste nell'aggirare i problemi derivanti dalla bruttezza intrinseca dell'operazione di derivata in ipotesi di scarsa regolarità. Ad esempio, nel caso specifico, un matematico dimostra rapidamente la formula che tu vuoi nel caso in cui tutte le funzioni in questione siano regolari e a supporto compatto. Dopodiché si va a mettere in un opportuno spazio di funzioni, dettato in genere dal problema in questione (che NON si limita a dimostrare una formula). Se tutto va come dovrebbe, le funzioni regolari e a supporto compatto sono dense e ambo i membri della formula sono continui rispetto alla topologia di tale spazio. Perciò, la formula si estende per continuità.
Ecco un modo "soft" ma molto efficace di dare un senso a molte formule della fisica matematica. Con l'esperienza, un matematico e un fisico sanno quando una formula è vera o no. Se è vera, si tratta poi di trovare una giustificazione formale per darle un senso rigoroso. Questo è esattamente il procedimento inverso rispetto a ciò che fai tu. Per dirla all'inglese: "you overlook the forest for the trees".
"dissonance":Mi riferivo al fatto che sembra che l'utente in questione non capisca che cosa significhi giustificare matematicamente una derivazione sotto il segno di integrale (oltre al fatto che non realizzi che \(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3\), \((\mathbf{l},r_i)\mapsto \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{l})\times\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{l}-\mathbf{r}\|^3}\) non è proprio continua e limitata per un ragionevole $\mathbf{J}$, prendendomi pure in giro per non aver specificato nella domanda che è discontinua): ho l'impressione che quell'utente si fosse convinto che le mie perplessità fossero altre, come se derivare sotto il segno di integrale sia una cosa che si può fare sempre. Sì, so che in fisica si fanno ipotesi tali che ciò si può fare in un qualche senso, ma trovo frustrante applicare una tale commutazione senza capire neanche perché essa è matematicamente lecita e su quello verteva la mia domanda; nota anche che nella domanda avevo linkato una dimostrazione della legge di Ampère da quella di Biot-Savart dove, se valesse commutare integrali e derivate mantenendone il significato, il rotore di un campo magnetostatico sarebbe nullo perché \(\int_V\nabla_r^2[\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^{-1}]\mathbf{J}(\mathbf{l})d\mu_{\mathbf{l}}=0\), mentre invece se \(\mathbf{J}\in C^2(\mathbb{R}^3)\) ha supporto contenuto in $V$ vale \(\nabla_r^2\int_V\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^{-1}\mathbf{J}(\mathbf{l})d\mu_{\mathbf{l}}=\int_V\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^{-1}\nabla_l^2\mathbf{J}(\mathbf{l})d\mu_{\mathbf{l}}=-4\pi\int\delta(\mathbf{l}-\mathbf{r})\nabla_l^2\mathbf{J}(\mathbf{l})d\mu_{\mathbf{l}}\).
credo che molte tra le persone che tu critichi hanno ragione. Uno, ad esempio, ti rimprovera di porre domande troppo piene di distrazioni
Ciò che intendo dire è che, unendo l'atteggiamento di quel simpatico personaggio, che considera chiedere che risultato (teorema, lemma...) matematico giustifica una commutazione integrale/rotore too broadly worded to be answered e meritevole di un -1, all'osservazione (altrove, in varie comunità) di studenti di fisica convinti di varie amenità come quelle scritte in nota nel precedente post, o che si possa sempre e comunque derivare sotto il segno di integrale ed introdurre poi la $\delta$ dove l'integrando diventa nullo per non perdere l'informazione (non linko perché ho rispetto per questi ragazzi, a differenza che per il tizio dai titoli altisonanti "che dovevo specificare che \(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3\), \((\mathbf{l},r_i)\mapsto \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{l})\times\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{l}-\mathbf{r}\|^3}\) può non essere continua e limitata"), mi sono convinto che un certo approccio alla matematica dei testi pensati per fisici o ingegneri possa essere causa di "qualche" ideuccia sbagliata...
"dissonance":Certo, certo, anche se non è quello il mio scopo, ma piuttosto vedere se è alla mia portata una dimostrazione della decomposizione per campi vettoriali un po' più generici.
Se invece il problema è capire l'affidabilità fisica di decomposizioni di questo tipo, bisogna ragionare in termini fisici e non in termini matematici.
"dissonance":Infatti ti ringrazio di avermi consigliato il Gilardi, che sto cercando...
Ma si tratta di problemi che i matematici si sono già posti da quasi un centinaio di anni e a cui ora c'è una risposta definitiva: la teoria delle "distribuzioni", e tutti gli annessi e connessi.
"dissonance":Vedo che \(W^{k,1}(\mathbb{R}^3)\) si intende normalmente dorato della norma definita da $$\|\varphi\|:=\sum_{0\le k\le|\alpha|}\int_{\mathbb{R}^3}|D^{\alpha}\varphi|d\mu$$
la tua dimostrazione si estende senza sforzo ulteriore allo spazio \(W^{1,1}(\mathbb{R}^3)\) delle funzioni integrabili con derivate prime integrabili.
La decomposizione $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi}\nabla_x\times\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}-\frac{1}{4\pi} \nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot \boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}$$sarebbe dimostrata per \(\boldsymbol{F}\) a componenti in \(W^{k,1}(\mathbb{R}^3)\) sarebbe dimostrata se riuscissi a verificare che
1) $C_c^2(\mathbb{R}^3)$ è denso in tale spazio;
2) se i \(\{\varphi_{i,n}\}\) tendono alle componenti $F_i$ di \(\boldsymbol{F}\) secondo la metrica indotta da tale norma, allora \(\varphi_{i,n}(\boldsymbol{x})\to F_i(\boldsymbol{x})\) e pure $$\nabla_x\times\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\times\boldsymbol{\varphi}_n(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}-\nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot \boldsymbol{\varphi}_n(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ $$\to\nabla_x\times\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}-\nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot \boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ma verificare queste cose non mi sembra affatto banale...
Suppongo di non avere ancora il bagaglio teorico necessario per queste cose, ma che strumenti si possono utilizzare per dimostrare queste cose?
In fisica direi che si abbia a che fare con campi vettoriali
a) confinati ad una regione limitata, come per esempio una densità di corrente,
b) che decadono come \(1/\|\boldsymbol{x}\|^2\), come il campo gravitazionale o quello elettrico,
ma direi che, mentre nel caso (a) la decomposizione vale come da me dimostrato, nel caso (b) invece gli integrali potrebbero benissimo non esistere, infatti non sono mica tanto sicuro che il rotore e la divergenza di cose come \(\boldsymbol{F}:\boldsymbol{x}\mapsto\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^3}\) appartengano a $L^1(\mathbb{R}^3)$... o sbaglio?
Ammesso che non sbagli, direi che, a voler essere veramente rigorosi, la decomposizione per questi ultimi campi (b) non vale...
$\infty$ grazie!!!
Qui facilmente vai a finire nella matematica "hard". Prova a dare un'occhiata qui, ma *non* sono sicuro che sia esattamente quello che cerchi:
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ial_theory
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ial_theory
"dissonance":Mi sa che allora, per il momento, mi conviene continuare con i miei studi di "fisica 2" invece di calarmi nella tana del coniglio, nonostante il richiamo del Paese delle Meraviglie matematiche sia tanto ammaliante...
Qui facilmente vai a finire nella matematica "hard".
"dissonance":Eh sì, queste cose si studiano nell'ambito della teoria del potenziale...
*non* sono sicuro che sia esattamente quello che cerchi: https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ial_theory
In ogni caso, direi che, per quanto riguarda le applicazioni fisiche della decomposizione, che, per ora, sono quello che riguarda direttamente il mio percorso di studi, direi che, in fisica, i campi vettoriali siano normalmente o a supporto limitato come per esempio una densità di corrente, o a decadimento quadratico inverso, come un campo gravitazionale o elettrico. In questo secondo caso, prendiamo ad esempio il campo generato da una distribuzione di cariche $q_i$ poste nei punti di coordinate \(\boldsymbol{x}_i\), che è espresso da$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n q_i \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\|^3}$$Se non erro, tale campo ha rotore e divergenza nulli, per cui, se per questo campo valesse la decomposizione di Helmholtz, sarebbe, per ogni \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3\), $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi}\nabla_x\times\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}-\frac{1}{4\pi} \nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot \boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}=\mathbf{0} $$che ovviamente non può essere in generale vero. Quindi direi che, per i campi a decadimento quadratico inverso, tale decomposizione non vale in generale: giusto?
$\infty$ grazie ancora!
Davide, non lo so, proprio non ho tempo questi giorni. Ma ecco qua una discussione che parla di argomenti analoghi, per dare una idea di come si dimostrano queste cose:
http://math.stackexchange.com/q/1465814/8157
P.S.: Il problema con l'esempio che hai postato non mi pare tanto nel decadimento ma nel fatto che stai completamente tralasciando le singolarità. Quando derivi quelle robe singolari ti vengono fuori delle delta di Dirac che tu stai mettendo brutalmente a zero.
http://math.stackexchange.com/q/1465814/8157
P.S.: Il problema con l'esempio che hai postato non mi pare tanto nel decadimento ma nel fatto che stai completamente tralasciando le singolarità. Quando derivi quelle robe singolari ti vengono fuori delle delta di Dirac che tu stai mettendo brutalmente a zero.
"dissonance":Ah, già, io interpretavo le "componenti" di $\nabla_y$ come operatori derivata delle componenti di \(\boldsymbol{F}\), da cui rotore e divergenza nulli quasi ovunque ed integrali di Lebesgue conseguentemente nulli, ma in questo caso \(\boldsymbol{F}\) non è continua e la discontinuità è esclusa dalle ipotesi di smoothness che appare in molti enunciati del teorema di decomposizione... Grazie comunque!!!
Quando derivi quelle robe singolari ti vengono fuori delle delta di Dirac che tu stai mettendo brutalmente a zero.
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