Decomposizione di funzioni razionali
Salve a tutti, chiedo scusa mi sono accorto di aver sbagliato titolo e di aver scritto male la mia richiesta d'aiuto, ora ho modificato questo post, vorrei sapere se è possibile decomporre le seguenti funzioni in questo modo:
1. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^2} = \dfrac{Az+B}{(z^2+1)^2}[/tex] è giusto così?
2. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^2} = \dfrac{A}{(z-1)} + \dfrac{B}{(z+1)}[/tex] è giusto così?
3. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^3} = \dfrac{1}{(z^2+1)^2(z^2+1)}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
4. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^3} = \dfrac{1}{(z^2-1)^2(z^2-1)} = \dfrac{1}{(z+1)(z-1)^2}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
1. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^2} = \dfrac{Az+B}{(z^2+1)^2}[/tex] è giusto così?
2. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^2} = \dfrac{A}{(z-1)} + \dfrac{B}{(z+1)}[/tex] è giusto così?
3. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^3} = \dfrac{1}{(z^2+1)^2(z^2+1)}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
4. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^3} = \dfrac{1}{(z^2-1)^2(z^2-1)} = \dfrac{1}{(z+1)(z-1)^2}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
Risposte
Grazie mille a tutti in anticipo!!! 
"Carlus":
vorrei sapere se è possibile decomporre le seguenti funzioni in questo modo:
1. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^2} = \dfrac{Az+B}{(z^2+1)^2}[/tex] è giusto così?
No, a meno che [tex]A=0[/tex] e [tex]B=1[/tex] (principio d'identità dei polinomi)... Ma in tal caso hai scritto una tautologia.
"Carlus":
2. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^2} = \dfrac{A}{(z-1)} + \dfrac{B}{(z+1)}[/tex] è giusto così?
No, mancano i termini quadratici (insomma, il denominatore non può diventare di secondo grado, quando a primo membro è di quarto...)
"Carlus":
3. [tex]\dfrac{1}{(z^2+1)^3} = \dfrac{1}{(z^2+1)^2(z^2+1)}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
Fattorizzazione inutile.
"Carlus":
4. [tex]\dfrac{1}{(z^2-1)^3} = \dfrac{1}{(z^2-1)^2(z^2-1)} = \dfrac{1}{(z+1)(z-1)^2}[/tex] = poi??? come si trovano i coefficienti A, B...?
Stessa storia di prima, con l'aggravante che sei sceso dal sesto al terzo grado al denominatore.
Se hai una funzione del tipo:
[tex]$f(z):=\frac{1}{(z-z_1)^{M_1}\cdot (z-z_2)^{M_2}\cdot \ldots \cdot (z-z_N)^{M_N}}$[/tex]
(con [tex]z_1,\ldots ,z_N\in \mathbb{C}[/tex] distinti ed [tex]M_1,\ldots ,M_N \in \mathbb{N}[/tex]) la puoi decomporre in fratti semplici come:
[tex]$\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M_n} \frac{c_{n,m}}{(z-z_n)^{m}} =\sum_{n=1}^{N} \frac{c_{n,1}}{z-z_n}+\frac{c_{n,2}}{(z-z_n)^2}+\ldots +\frac{c_{n,M_n}}{(z-z_n)^{M_n}}$[/tex].
Se sei pratico di Analisi Complessa, i coefficienti [tex]c_{n,m}[/tex] si determinano facilmente, perchè sono dei residui: in particolare, per [tex]n\in \{ 1,\ldots ,N\}[/tex] ed [tex]m \in \{ 1,\ldots ,M_n\}[/tex], si ha:
[tex]c_{n,m}=\text{Res} \left( (z-z_n)^m f(z); z_n\right)[/tex].
ecco, si ma se io devo calcolare, ad esempio un integrale delle precedenti funzioni è possibile decomporle in quel modo che ho scritto?
Fai un esempio.
Approfitto di questo topic già aperto per chiedere una conferma (ovviamente, la mia richiesta è inerente all'argomento, integrazione di funzioni razionali fratte).
Supponiamo di dover integrare ad esempio $1/(x^4+1)$. Sulle prime resto un po' lì, quel denominatore non si vuole scomporre: allora provo qualche sostituzione ma non viene nulla di buono. Ho pensato allora di sfruttare un fatto che penso sia giusto ma non ne sono sicuro (lo vediamo in algebra la prossima settimana): in $RR[x]$ gli unici polinomi irriducibili sono quelli di grado 1 o di grado 2 con $Delta<0$. E' vero?
Per fattorizzare $x^4+1$, allora, ho pensato di trovarmi le radici quarte complesse di $-1$. A questo punto, scrivo i quattro fattori complessi di primo grado e poi li moltiplico a due a due in modo da far sparire la $i$. In questo modo mi resta $(x^4+1)=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$. Effettivamente, svolgendo il prodotto i conti tornano. E a questo punto posso integrare con il metodo standard della decomposizione in fratti semplici: lungo, ma alla fine viene tutto.
Due questions a questo punto:
1. è giusto come ho fatto io?
2. ci sono altri modi più rapidi/più eleganti in queste situazioni? Grazie per il vostro parere.
Supponiamo di dover integrare ad esempio $1/(x^4+1)$. Sulle prime resto un po' lì, quel denominatore non si vuole scomporre: allora provo qualche sostituzione ma non viene nulla di buono. Ho pensato allora di sfruttare un fatto che penso sia giusto ma non ne sono sicuro (lo vediamo in algebra la prossima settimana): in $RR[x]$ gli unici polinomi irriducibili sono quelli di grado 1 o di grado 2 con $Delta<0$. E' vero?
Per fattorizzare $x^4+1$, allora, ho pensato di trovarmi le radici quarte complesse di $-1$. A questo punto, scrivo i quattro fattori complessi di primo grado e poi li moltiplico a due a due in modo da far sparire la $i$. In questo modo mi resta $(x^4+1)=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$. Effettivamente, svolgendo il prodotto i conti tornano. E a questo punto posso integrare con il metodo standard della decomposizione in fratti semplici: lungo, ma alla fine viene tutto.
Due questions a questo punto:
1. è giusto come ho fatto io?
2. ci sono altri modi più rapidi/più eleganti in queste situazioni? Grazie per il vostro parere.
@Paolo90: prova a sommare e sottrarre [tex]x^4[/tex] al numeratore; spezza la frazione ed integra il pezzo che dà problemi per parti. Forse viene un po' più semplice.
Prova a fare così:
$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+sqrt(2)x+1)(x^2-sqrt(2)x+1)$
$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+sqrt(2)x+1)(x^2-sqrt(2)x+1)$
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