Decomposizione della funzione razionale integranda
Ciao ragzzi non capisco dove sbaglio.
Cerco di scomporre l'integrale usando il metodo dei fratti semplici visto che il grado al numeratore è minore del grado al denominatore.
Procedo utilizzando il metodo ma mi ritrovo con la stessa funzione
$\int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3dt=$
$= \int (4t)/(1-t^2)^2dt$
$rarr4t=(At+B)/(1-t^2)+(Ct+D)/(1-t^2)^2$
$rarr 4t=(At+B)(1-t^2)+Ct+D$
$rarr 4t=(-A)t^3+(-B)t^2+(A+C)t+(B+D)$
$rarr {(-A=0),(-B=0),(A+C=4),(B+D=0)$
$rarr =(4t)/(1-t^2)^2$
Cerco di scomporre l'integrale usando il metodo dei fratti semplici visto che il grado al numeratore è minore del grado al denominatore.
Procedo utilizzando il metodo ma mi ritrovo con la stessa funzione
$\int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3dt=$
$= \int (4t)/(1-t^2)^2dt$
$rarr4t=(At+B)/(1-t^2)+(Ct+D)/(1-t^2)^2$
$rarr 4t=(At+B)(1-t^2)+Ct+D$
$rarr 4t=(-A)t^3+(-B)t^2+(A+C)t+(B+D)$
$rarr {(-A=0),(-B=0),(A+C=4),(B+D=0)$
$rarr =(4t)/(1-t^2)^2$
Risposte
Perché è già decomposta in fratti semplici, neanche ne avresti bisogno poi: prova a porre $1-t^2=u$ nell'integrale.
Non trovo vie di uscita con questa sostituzione.
Nel testo prosegue trasformando la funzione in somma di funzioni semplici in questo modo:
$-(4t)/(1-t^2)^2+(8t)/(1+t^2)^3$
Non riesco a capire come ha fatto a trovare questa somma di funzioni
Nel testo prosegue trasformando la funzione in somma di funzioni semplici in questo modo:
$-(4t)/(1-t^2)^2+(8t)/(1+t^2)^3$
Non riesco a capire come ha fatto a trovare questa somma di funzioni
Sul tuo testo c'è scritto che $\frac{4t}{(1-t^2)^2}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$?
No uguale a questo $rarr (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 = $
Che è la stessa cosa, perché $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=\frac{4t}{(1-t^2)^2}$.
Comunque andiamo bene, che testo è per curiosità? L'identità è falsa in generale, infatti se prendi $t=2$ e lo sostituisci in $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$ ti viene a sinistra $\frac{8}{9}$ e a destra un numero negativo.
Quindi ribadisco, prova la sostituzione che ti ho consigliato in
$$\int \frac{4t}{(1-t^2)^2} \text{d}t$$
Come mai dici che non trovi via d'uscita con questa sostituzione? Scriveresti i conti per favore?
Comunque andiamo bene, che testo è per curiosità? L'identità è falsa in generale, infatti se prendi $t=2$ e lo sostituisci in $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$ ti viene a sinistra $\frac{8}{9}$ e a destra un numero negativo.
Quindi ribadisco, prova la sostituzione che ti ho consigliato in
$$\int \frac{4t}{(1-t^2)^2} \text{d}t$$
Come mai dici che non trovi via d'uscita con questa sostituzione? Scriveresti i conti per favore?
@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?
Ciao smule98,
Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:
$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $
Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:
$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $
"gugo82":
@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?
Sono delle dispense del profressore
"pilloeffe":
Ciao smule98,
Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:
$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $
Mmh non capisco però che "regola" hai usato, cioè non fa parte degli integrali notevoli...
Se applichi la sostituzione che ti ho consigliato qualche messaggio fa ti tornerà il risultato di pilloeffe, puoi provarci per favore? Magari scrivendo anche i passaggi, hai detto che non c'era via d'uscita con quella sostituzione ma mi sembra strano.
"Mephlip":
Se applichi la sostituzione che ti ho consigliato qualche messaggio fa ti tornerà il risultato di pilloeffe
Concordo, torna anche a me...
"smule98":
non capisco però che "regola" hai usato, cioè non fa parte degli integrali notevoli...
Ho usato la ben nota regola di derivazione di un quoziente:
$D[(f(t))/(g(t))] = \frac{f'(t) g(t) - g'(t) f(t)}{[g(t)]^2} $
Se poni $g(t) := 1 - t^2 $, $f(t) := 2 $ il membro a destra diventa esattamente la funzione che devi integrare, quindi...
$\int (4t)/(1-t^2)^2dt$
$1-t^2=u rarr t=sqrt(1-u) rarr dt=1/2(1-u)du$
$\int (4sqrt(1-u))/u^2*(1/2-1/2u)du$
Qui sono un po' bloccato, potrei portare fuori il 4 ma non trovo altri passaggi utili
$1-t^2=u rarr t=sqrt(1-u) rarr dt=1/2(1-u)du$
$\int (4sqrt(1-u))/u^2*(1/2-1/2u)du$
Qui sono un po' bloccato, potrei portare fuori il 4 ma non trovo altri passaggi utili
Non ti torna perché sbagli la derivata di $\sqrt{1-u}$; comunque è molto più comodo differenziare subito dalla sostituzione, ossia da $1-t^2=u$ giungi a $-2t \text{d}t=\text{d}u$.
Se non ti sono chiarissime queste cose il mio consiglio è quello di studiare prima per bene l'integrazione per sostituzione e poi passare allo studio della tecnica di decomposizione in fratti semplici.
Se non ti sono chiarissime queste cose il mio consiglio è quello di studiare prima per bene l'integrazione per sostituzione e poi passare allo studio della tecnica di decomposizione in fratti semplici.
comunque è molto più comodo differenziare subito dalla sostituzione, ossia da 1−t2=u giungi a −2tdt=du.
Però a me serve dt, dovrei comunque ottenere che $dt=-(2t)/(du)$ (?)
Non ti torna perché sbagli la derivata di 1−u−−−−−√
Giusto ti proseguo con i calcoli:
$-\int (4sqrt(1-u))/u^2*1/(2sqrt(1-u))du=-\int2/u^2du=-2\int 1/u^2du=2/u=2/(1-t^2)$
Ora dovrebbe esserci
"smule98":
Però a me serve dt, dovrei comunque ottenere che $dt=-(2t)/(du)$ (?)
Credo che l'operazione di dividere per $\text{d}u$ non abbia senso.
Comunque non ti serve, perché da $-2t\text{d}t=\text{d}u$ moltiplicando per $-2$ ambo i membri ottieni $4t\text{d}t=-2\text{d}u$, perciò dato che nel tuo integrale compare già il fattore $4t \text{d}t$ puoi direttamente sostituirlo con $-2\text{d}u$ (ecco perché ti dicevo che è più comodo differenziare, perché il differenziale nella nuova variabile $u$ lo hai già bello pronto).
"smule98":
Giusto ti proseguo con i calcoli:
$-\int (4sqrt(1-u))/u^2*1/(2sqrt(1-u))du=-\int2/u^2du=-2\int 1/u^2du=2/u=2/(1-t^2)$
Ora dovrebbe esserci
Corretto, manca solo una costante additiva $c$.
Comunque non ti serve, perché da −2tdt=du moltiplicando per −2 ambo i membri ottieni 4tdt=−2du, perciò dato che nel tuo integrale compare già il fattore 4tdt puoi direttamente sostituirlo con −2du (ecco perché ti dicevo che è più comodo differenziare, perché il differenziale nella nuova variabile u lo hai già bello pronto).
Ah ok ok perfetto grazie mille
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