Debole monotonia/iniettivitá
Ciao! 
Se al legame: stretta monotonia su $I =>$ iniettivitá ,ovviamente sotto le ipotesi di continuità sull'intervallo, aggiungessi $forallUsubseteqI,exists kinRR:f(x)=k, forallx inU$, allora si può estendere il teorema alla monotonia più debole?
Al più sarebbero presenti dei punti stazionari, ma:
Sia $c_n$ un generico punto stazionario e $X=[c_n-delta,c_n+delta]subseteqI$
Per la debole monotonia:
$forallx in[c_n-delta,c_n]:xleqc_n=>f(x)leqf(c_n)$
$forallx in[c_n,c_n+delta]:xgeqc_n=>f(x)geqf(c_n)$
Essendo $y=f(c_n)$ la retta tangente nel punto stazionario, risulta che $x=c_n$ è un punto di flesso a tangente orizzontale.
Dunque basta escludere che esista una retta $y=k$ tale che non intersechi due punti stazionari, il gioco mi sembra che funzioni.
Anche perché l'ipotesi che la funzione non sia costante, è tremendamente più forte dell'ultima considerazione.
Se al legame: stretta monotonia su $I =>$ iniettivitá ,ovviamente sotto le ipotesi di continuità sull'intervallo, aggiungessi $forallUsubseteqI,exists kinRR:f(x)=k, forallx inU$, allora si può estendere il teorema alla monotonia più debole?
Al più sarebbero presenti dei punti stazionari, ma:
Sia $c_n$ un generico punto stazionario e $X=[c_n-delta,c_n+delta]subseteqI$
Per la debole monotonia:
$forallx in[c_n-delta,c_n]:xleqc_n=>f(x)leqf(c_n)$
$forallx in[c_n,c_n+delta]:xgeqc_n=>f(x)geqf(c_n)$
Essendo $y=f(c_n)$ la retta tangente nel punto stazionario, risulta che $x=c_n$ è un punto di flesso a tangente orizzontale.
Dunque basta escludere che esista una retta $y=k$ tale che non intersechi due punti stazionari, il gioco mi sembra che funzioni.
Anche perché l'ipotesi che la funzione non sia costante, è tremendamente più forte dell'ultima considerazione.
Risposte
Innanzitutto scritta così
secondo me, non significa alcunché. Per un semplice fatto: data una qualunque funzione \( f \colon I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tale che \( f(I) \neq \mathbb{R} \), se \( k \notin f(I) \), allora \( \forall x \in I, f(x) \neq k \), sicché sicuramente non esiste alcun \( U \subseteq I \) tale che \( f(x) = k \).
Inoltre la stretta monotonia di una funzione ne implica manifestamente l'iniettività indipendentemente dalle ipotesi sulla continuità.
"anto_zoolander":
... non esiste \( U \subseteq I : f(x) = k, \forall x \in U \)...
secondo me, non significa alcunché. Per un semplice fatto: data una qualunque funzione \( f \colon I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tale che \( f(I) \neq \mathbb{R} \), se \( k \notin f(I) \), allora \( \forall x \in I, f(x) \neq k \), sicché sicuramente non esiste alcun \( U \subseteq I \) tale che \( f(x) = k \).
Inoltre la stretta monotonia di una funzione ne implica manifestamente l'iniettività indipendentemente dalle ipotesi sulla continuità.
Intendo che non esiste un sottoinsieme dell'intervallo e non esista una quota $k$, nel quale la funzione assume solo quella quota per ogni $x$ dell'intervallo. Quindi in poche parole che non è costante.
Però notavo una cosa: alcune persone considerano strettamente monotona anche una funzione che ha punti in cui la derivata è nulla. Ma per la definizione di debole monotonia crescente $forallx_1,x_2inI:x_2geqx_1=>f(x_2)geqf(x_1)$ nessuno mi vieta di prendere $x_1=x_2$ che in particolare in questo caso l'unico punto in cui posso prendere $x_1=x_2$ è il punto stazionario, dunque la funzione è debolmente crescente. Però il discorso verte quì: se esistono sporadici punti stazionari, la funzione è ugualmente iniettiva. Un esempio facile è:
$f(x)=x^3$ la funzione è iniettiva e invertibile su tutto $RR$ nonostante ci sia quel famoso punto stazionario.
ho modificato così:
Oppure anche $f(x)=x+cos(x)$, è iniettiva su tutto $RR$ sebbene ci siano infiniti punti stazionari.
Però notavo una cosa: alcune persone considerano strettamente monotona anche una funzione che ha punti in cui la derivata è nulla. Ma per la definizione di debole monotonia crescente $forallx_1,x_2inI:x_2geqx_1=>f(x_2)geqf(x_1)$ nessuno mi vieta di prendere $x_1=x_2$ che in particolare in questo caso l'unico punto in cui posso prendere $x_1=x_2$ è il punto stazionario, dunque la funzione è debolmente crescente. Però il discorso verte quì: se esistono sporadici punti stazionari, la funzione è ugualmente iniettiva. Un esempio facile è:
$f(x)=x^3$ la funzione è iniettiva e invertibile su tutto $RR$ nonostante ci sia quel famoso punto stazionario.
ho modificato così:
Oppure anche $f(x)=x+cos(x)$, è iniettiva su tutto $RR$ sebbene ci siano infiniti punti stazionari.
"anto_zoolander":
... aggiungessi $forallUsubseteqI,exists kinRR:f(x)=k, forallx inU$
Di nuovo, se vuoi dire che la funzione \( f \) non è costante su alcun sottoinsieme di \( I \), scritta così è scritta male.
Con la scrittura \( \forall U \subseteq I, \exists k \in \mathbb{R} : \forall x \in U, f(x) = k \) stai dicendo che per qualunque scelta di un sottoinsieme \( U \) di \( I \) è possibile trovare almeno un numero reale \( k \) tale che per tutti i valori che \( x \) può assumere in \( U \) risulta \( f(x) = k \). A me pare che in questo modo tu stia dicendo l'esatto contrario di quello che vuoi dire.
P.S.
In generale, a scopo didattico ed a beneficio di chi legge, non editare gli errori matematici segnalati nei vari post pregressi: scrivi un nuovo post con "il fatto matematico corretto". Edita solo eventuali errori di grammatica/sintassi della lingua italiana.
Ho sbagliato a modificare, però intendevo quello. Guarda sotto lo spoiler del post precedente a questo, lì l'ho scritto correttamente. Nello scrivere entrambi, in uno ho dimenticato il 'ne' 
Eh... no. Nemmeno.
La scrittura \( \forall U \subseteq I, \nexists k \in \mathbb{R} : \forall x \in U, f(x) = k \) nemmeno completamente corretta è. Questa scrittura significa che qualunque sia il sottoinsieme \( U \) di \( I \), non è possibile trovare alcun valore reale \( k \) tale che, per tutti i valori che \( x \) può assumere in \( U \), l'immagine di \( x \) sia proprio \( k \).
Al che: e se il sottoinsieme \( U \) di \( I \) fosse puntiforme? E.g. sia \( f \colon x \in \left [ 1;3 \right ] \to x + 3 \in \mathbb{R} \): allora \( I = \left [ 1;3 \right ] \) ed uno dei possibili sottoinsiemi di \( I \) è \( U = \left \{ 1 \right \} \), al che dire che non esiste alcun \( k \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x) = k, \forall x \in U \) significa dire, in questo caso, che \( f(1) \) non ha un'immagine.
La scrittura \( \forall U \subseteq I, \nexists k \in \mathbb{R} : \forall x \in U, f(x) = k \) nemmeno completamente corretta è. Questa scrittura significa che qualunque sia il sottoinsieme \( U \) di \( I \), non è possibile trovare alcun valore reale \( k \) tale che, per tutti i valori che \( x \) può assumere in \( U \), l'immagine di \( x \) sia proprio \( k \).
Al che: e se il sottoinsieme \( U \) di \( I \) fosse puntiforme? E.g. sia \( f \colon x \in \left [ 1;3 \right ] \to x + 3 \in \mathbb{R} \): allora \( I = \left [ 1;3 \right ] \) ed uno dei possibili sottoinsiemi di \( I \) è \( U = \left \{ 1 \right \} \), al che dire che non esiste alcun \( k \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x) = k, \forall x \in U \) significa dire, in questo caso, che \( f(1) \) non ha un'immagine.
Ora ci studio su questa cosa. Perché il concetto è che comunque preso un sottoinsieme di $I$, la funzione non è costante in esso. Solo che devo vedere come esprimerlo in quel modo.
Assodato cosa intendiamo, il ragionamento è corretto?
Assodato cosa intendiamo, il ragionamento è corretto?
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