De L'Hopital e teorema fondamentale del calcolo

[nuwanda1]

Ho bisogno di una conferma: data $A:RR^2->RR$ funzione continua allora $(int_(0)^(h) A(x + t,y) dt )/ h -> A(x,y)$.

Io me lo sono spiegato applicando prima di tutto il teorema de L'Hopital. così mi rimane solo la derivata di $int_(0)^(h) A(x + t,y) dt$. Adesso applico il teorema fondamentale del calcolo integrale e ottengo $A(x+h,y)$, così se $h->0$ ho il risultato voluto.

Sono tutti passaggi leciti? C'è un modo di arrivarci senza utilizzare L'Hopital?

[nuwanda1]

Ancora più semplice... sia $F$ la primitiva di $A(x,y)$, allora è applicando il teorema fondamentale (prima uguaglianza) è proprio il rapporto incrementale: $lim_(h -> 0) (int_0 ^ h A(x+t,y) dt)/h = lim _(h ->0) (F (x + h,y) - F(x))/h = dF(x,y) = A(x,y)$

Ho detto bene?

[gugo82]

Chiarisci il significato di "primitiva" per una funzione di due variabili... Forse intendi una primitiva parziale?

Ad ogni modo, tutto 'sto casino è inutile, poiché basta usare la continuità per ottenere una classicissima dimostrazione \(\varepsilon\)-\(\delta\).
Invero, hai:
\[
\begin{split}
\left| \frac{1}{h} \intop_0^h A(x+t,y)\ \text{d} t - A(x,y)\right| &= \left| \frac{1}{h} \intop_0^h A(x+t,y)\ \text{d} t - \frac{1}{h} \intop_0^h A(x,y)\ \text{d} t\right|\\
&\leq \frac{1}{|h|} \left| \intop_0^h |A(x+t,y)-A(x,y)|\ \text{d} t\right|\; ;
\end{split}
\]
avendo fissato \((x,y)\), la funzione \(t\mapsto A(x+t,y)\) è continua in \(\mathbb{R}\), dunque essa è continua in \(0\): ciò significa che, preso \(\varepsilon >0\), esiste un \(\delta >0\) tale che:
\[
|t|<\delta \qquad \Rightarrow \qquad |A(x+t,y)-A(x,y)| <\varepsilon\; ;
\]
conseguentemente, se si prende \(|h|<\delta\), per ogni \(t\) nell'intervallo d'estremi \(0\) ed \(h\)[nota]Il quale intervallo è \([0,h]\) se \(h>0\) oppure \([h,0]\) se \(h<0\).[/nota] si ha:
\[
|t|\leq |h|<\delta\qquad \Rightarrow\qquad \frac{1}{|h|} \left| \intop_0^h |A(x+t,y)-A(x,y)|\ \text{d} t\right| < \frac{1}{\cancel{|h|}}\ \varepsilon \cancel{|h|}\; ;
\]
da ciò segue che:
\[
|h|<\delta \qquad \Rightarrow \qquad \left| \frac{1}{h} \intop_0^h A(x+t,y)\ \text{d} t - A(x,y)\right| <\varepsilon
\]
ossia che:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \intop_0^h A(x+t,y)\ \text{d} t = A(x,y)\; .
\]

[nuwanda1]

Ok... così mi piace di più... è la definizione di continuità!

Però vorrei sapere se potevo usare il teorema della media integrale: supposto $h>0$ se prendessi $delta$ in $[0,h]$ per il teorema della media avrei $(int_0 ^h A(x+t,y) dt)/h = A(x + delta, y)$... allora passando al limite avrei l'uguaglianza richiesta?

[gugo82]

Anche...

Infatti per il TdM esiste \(\tau \in [\min \{0,h\},\max \{0,h\}]\) tale che:
\[
\frac{1}{h}\ \intop_0^h A(x+t,y)\ \text{d} t = A(x+\tau ,y)
\]
e \(\tau \to 0\) quando \(h\to 0\) (perché \(|\tau|\leq |h|\)).