De l'Hopital e il rapporto incrementale

remus135
Salve, studiando la dimostrazione del teorema di De l'Hopital mi è stato fatto notare che non sempre è possibile usare questa tecnica, perché ad esempio se lo si usasse per il calcolo del limite "seno di x su x" ci sarebbe qualcosa di logicamente "scorretto", perché per calcolare la derivata del seno si utilizza proprio questo limite notevole, quindi si entrerebbe in un circolo che non parte da alcuna dimostrazione "singola". Comunque a parte questo, mi è venuto un dubbio: posso usare questo teorema per lo studio della derivabilità, cioè per risolvere il limite di un rapporto incrementale? Il mio problema non sta tanto nella risoluzione del dubbio, ma quanto sulla sua fondatezza, cioè non capisco se il dubbio ha ragion d'essere oppure sto creandomi problemi inutili.
Grazie in anticipo per la risposta.

Risposte
dissonance
LA domanda è interessante ma porta ad una discussione un po' troppo teorica. Intanto, nella pratica questi problemi non si pongono mai, quindi don't worry. A livello teorico qualcosa si potrebbe dire - effettivamente non ha molto senso usare de l'Hopital, che richiede la derivata, per calcolare una derivata - però in pratica le cose potrebbero funzionare ugualmente. Insomma, io non mi porrei il problema, ragionando piuttosto caso per caso.

ViciousGoblin
Mmhh, un risultato che si può vedere come utilizzo di de l'Hospital per calcolare le derivate è il seguente, che in realtà molti usano senza riflettere:

Teorema. Sia $f$ definita e continua nell'intorno $I$ di un punto $x_0$ e derivabile in $I\setminus{x_0}$. Supponiamo che
esista finito il limite $l=\lim_{x\to x_0}f'(x)$. Allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)=x_0$.

Lascio al lettore :D :D :D la dimostrazione, così come il verificare che il risultato è falso se si omette l'ipotesi di continuità.


Va anche detto che, anche se non è "fondato" usare de l'Hospital per fare il limite notevole $\sin(x)/x$, il suo uso è comunque corretto:
sapendo che la derivata di $\sin(x)$ è $\cos(x)$ ALLORA $\lim_{x\to0}\sin(x)/x = 1$.
(potrebbe servire se si usassero definizioni alternative delle funzioni trigonometriche ...).

Comunque concordo con dissonance, sul fatto che sono sottigliezze.

remus135
Grazie a tutti e due per l'attenzione, mi sento molto sollevato :) Credo anche di aver trovato una via di fuga, perché ho trasformato il numeratore di questo rapporto incrementale in una funzione che di certo soddisfa le ipotesi del teorema. Spero di riuscire ad evitare di finire sempre in queste sottigliezze che mi snervano per tutta la giornata xD

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