De l'Hopital alla frontiera
Ho un dubbio sull'applicazione di de l'Hopital alla frontiera del dominio di una funzione.
Secondo questo enunciato:http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l%27H%C3%B4pital
Il punto \( c \) deve appartenere ad \( (a,b)\) derivabile. Questo non significa ad esempio che non è possibile usare il teorema in un punto \(c\) frontiera del dominio?
Ad esempio nel limite \[\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\arccos{x}}{x-1}\] non esiste un intervallo \( (a,b)\) derivabile con \( 1\in (a,b) \).
Secondo questo enunciato:http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l%27H%C3%B4pital
Il punto \( c \) deve appartenere ad \( (a,b)\) derivabile. Questo non significa ad esempio che non è possibile usare il teorema in un punto \(c\) frontiera del dominio?
Ad esempio nel limite \[\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\arccos{x}}{x-1}\] non esiste un intervallo \( (a,b)\) derivabile con \( 1\in (a,b) \).
Risposte
La regola di l'Hopital può essere usata anche per il calcolo di limiti sinistri o destri.
Cioè sarebbe come considerare \(c^- < c\)?
Vuol dire che se \(f,g\) sono derivabili in \((a,b)\), se tendono a \(0\) per \(x\to b^-\), se \(g'(x)\neq 0\) per ogni \(x\in (a,b)\) e se esiste
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l
\]
allora esiste anche
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f(x)}{g(x)}
\]
e vale \(l\).
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l
\]
allora esiste anche
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f(x)}{g(x)}
\]
e vale \(l\).
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