De l'Hopital

[Lulù110]

un altro quesito di oggi...
in generale quando è totalmente sconsigliato applicare de l'hopital e quando no?

[luluemicia]

Ciao, in genere ti consiglio di applicare i limiti notevoli ogni volta che puoi; spesso, un uso di De L'Hopital senza una preventiva applicazione dei limiti notevoli porta a conti troppo complicati.

[zorn1]

Beh, sì più che altro bisogna limitare la mole di conti possibilmente... a ogni modo ricorda che se non esiste il limite del rapporto delle derivate non è detto che non esista neppure il limite originario!


Un esempio in tal senso è:

$l=lim_(x to +oo) (x-sin x)/(x+sin x)$

si ha $l'=lim_(x to +oo) (1-cos x)/(1+cos x)$ che non esiste, tuttavia $l=lim_(x to +oo) (x+sin x)/(x-sin x)=lim_(x to +oo) (1-sin x/x)/(1+sin x/x)=0/2=0$.

Inoltre ricorda che $lim_(x to 0) sin x/x=1$ non può essere dimostrato con questa regola, in quanto la dimostrazione che $D sin x = cos x$ fa uso appunto di tale limite.

[_Tipper]

"zorn": $l=lim_(x to +oo) (x+sin x)/(x-sin x)=lim_(x to +oo) (1-sin x/x)/(1+sin x/x)=0/2=0$.

Giusto tutto quello che dici, tranne una cosa: quel limite fa uno.

[Spire]

"zorn":
si ha $l'=lim_(x to +oo) (1-cos x)/(1+cos x)$ che non esiste, tuttavia $l=lim_(x to +oo) (x+sin x)/(x-sin x)=lim_(x to +oo) (1-sin x/x)/(1+sin x/x)=0/2=0$.

Uhm chiedo scusa ma c'è qualcosa che non mi torna...
I limiti che avete messo devono essere tendenti a $0$ e non a $+oo$ se volete usare l'approssimazione $lim_{x->0}sinx/x = 1$
con $x$ tendente a $+oo$ non funziona, almeno per quanto ne so io

[zorn1]

Sì scusate mi sono confuso certo il limite è 1 non zero

[Dust1]

"Spire":[quote="zorn"]
si ha $l'=lim_(x to +oo) (1-cos x)/(1+cos x)$ che non esiste, tuttavia $l=lim_(x to +oo) (x+sin x)/(x-sin x)=lim_(x to +oo) (1-sin x/x)/(1+sin x/x)=0/2=0$.

Uhm chiedo scusa ma c'è qualcosa che non mi torna...
I limiti che avete messo devono essere tendenti a $0$ e non a $+oo$ se volete usare l'approssimazione $lim_{x->0}sinx/x = 1$
con $x$ tendente a $+oo$ non funziona, almeno per quanto ne so io [/quote]

Infatti, per $x->+oo$ hai il rapporto di una funzione limitata(il $sin$) per una che diverge a $+oo$ per cui il limite è $0$. E' una proprietà che si dimostra quando si affrontano i limiti.
Ciao