De Hopital su $CC$
Scusate stavo facendo degli esercizi sui residui, e mi chiedevo se posso utilizzare De Hopital su $CC$, credo di si ma vorrei una conferma, grazie;)
Risposte
In senso stretto, la regola di l'Hôpital non è vera per funzioni a valori complessi o vettoriali. Il motivo è che questa regola discende dal teorema di Lagrange o del valor medio, che nella sua forma più forte (se $f:[a, b]\toRR$ è continua e derivabile in $(a, b)$, allora $f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$ per un $xi\in(a, b)$ ) è falso in questi casi.
Per esempio (cito da Rudin Principi di analisi matematica, esempio §5.18 pag. 108) definisci
$f(x)=x, g(x)=x+x^2e^{i 1/{x^2}}$ per $x\inRR-{0}$. Allora
$lim_{x\to 0} {f(x)}/{g(x)}=1$, come si può verificare facilmente raccogliendo la $x$ a numeratore e denominatore e ricordando che $|e^{i 1/{x^2}}|=1$.
Nonostante questo, $lim_{x \to 0} {f'(x)}/{g'(x)}=0$. Infatti ${f'(x)}/{g'(x)}=1/{1+(2x-{2i}/x) e^{i 1/x^2}$, che è infinitesimo per $x\to0$ perché il denominatore è un infinito.
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Ci sono casi in cui il teorema di l'Hôpital è vero anche per funzioni a valori complessi, ed è quello di cui ti stai occupando: si tratta delle funzioni olomorfe (o meromorfe). Le funzioni $f, g$ dell'esempio di sopra non sono olomorfe, perché non sono nemmeno funzioni di variabile complessa.
Invece supponiamo di avere un aperto $Omega$ del piano complesso, $z_0\inOmega$ e due funzioni $u, v$ olomorfe in $Omega$. Supponiamo anche che il limite $lim_{z \to z_0} {u(z)}/{v(z)}$ si presenti sotto la forma indeterminata $0/0$. Sviluppando $u, v$ in serie di Taylor, ricaviamo che
${u(z)}/{v(z)}={a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...}/{b_1(z-z_0)+b_2(z-z_0)^2+...}$. Da qui si capisce che
$lim_{z \to z_0} {u(z)}/{v(z)}={a_1}/{b_1}$, ovvero proprio lo stesso risultato che otterremmo calcolando
$lim_{z \to z_0} {u'(z)}/{v'(z)}={a_1+2a_2(z-z_0)+...}/{b_1+2b_2(z-z_0)+...}={a_1}/{b_1}$.
Qualcosa di analogo si può fare anche per l'altra forma indeterminata, quella in cui $u, v$ hanno entrambe un polo in $z_0$, sostituendo alle serie di Taylor quelle di Laurent.
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Morale della favola: la regola di l'Hôpital nel caso complesso non è valida in generale. E' valida per funzioni olo/mero - morfe, ma in questi casi è una banale conseguenza di teoremi ben più importanti, quelli di sviluppabilità in serie di Taylor o di Laurent. Conviene ricordare e usare quelli, a mio modesto avviso.
Per esempio (cito da Rudin Principi di analisi matematica, esempio §5.18 pag. 108) definisci
$f(x)=x, g(x)=x+x^2e^{i 1/{x^2}}$ per $x\inRR-{0}$. Allora
$lim_{x\to 0} {f(x)}/{g(x)}=1$, come si può verificare facilmente raccogliendo la $x$ a numeratore e denominatore e ricordando che $|e^{i 1/{x^2}}|=1$.
Nonostante questo, $lim_{x \to 0} {f'(x)}/{g'(x)}=0$. Infatti ${f'(x)}/{g'(x)}=1/{1+(2x-{2i}/x) e^{i 1/x^2}$, che è infinitesimo per $x\to0$ perché il denominatore è un infinito.
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Ci sono casi in cui il teorema di l'Hôpital è vero anche per funzioni a valori complessi, ed è quello di cui ti stai occupando: si tratta delle funzioni olomorfe (o meromorfe). Le funzioni $f, g$ dell'esempio di sopra non sono olomorfe, perché non sono nemmeno funzioni di variabile complessa.
Invece supponiamo di avere un aperto $Omega$ del piano complesso, $z_0\inOmega$ e due funzioni $u, v$ olomorfe in $Omega$. Supponiamo anche che il limite $lim_{z \to z_0} {u(z)}/{v(z)}$ si presenti sotto la forma indeterminata $0/0$. Sviluppando $u, v$ in serie di Taylor, ricaviamo che
${u(z)}/{v(z)}={a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...}/{b_1(z-z_0)+b_2(z-z_0)^2+...}$. Da qui si capisce che
$lim_{z \to z_0} {u(z)}/{v(z)}={a_1}/{b_1}$, ovvero proprio lo stesso risultato che otterremmo calcolando
$lim_{z \to z_0} {u'(z)}/{v'(z)}={a_1+2a_2(z-z_0)+...}/{b_1+2b_2(z-z_0)+...}={a_1}/{b_1}$.
Qualcosa di analogo si può fare anche per l'altra forma indeterminata, quella in cui $u, v$ hanno entrambe un polo in $z_0$, sostituendo alle serie di Taylor quelle di Laurent.
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Morale della favola: la regola di l'Hôpital nel caso complesso non è valida in generale. E' valida per funzioni olo/mero - morfe, ma in questi casi è una banale conseguenza di teoremi ben più importanti, quelli di sviluppabilità in serie di Taylor o di Laurent. Conviene ricordare e usare quelli, a mio modesto avviso.
Prova a fare una dimostrazione...
Prendi, che sò, [tex]$f,g:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] olomorfe in [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] aperto, e [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] tale che [tex]$f(z_0)=0=g(z_0)$[/tex]; supponi che [tex]$g$[/tex] non abbia altri zeri intorno a [tex]$z_0$[/tex] (cosicché [tex]$z_0$[/tex] è uno zero isolato e d'ordine finito per [tex]$g$[/tex]); e fai vedere che in tali ipotesi esiste il limite:
[tex]$\lim_{z\to z_0} \frac{f^\prime (z)}{g^\prime (z)}$[/tex]
e che tale limite coincide con:
[tex]$\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)}$[/tex].
Basta sviluppare un po' in serie di Taylor [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] ed il gioco è fatto.
Prendi, che sò, [tex]$f,g:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] olomorfe in [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] aperto, e [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] tale che [tex]$f(z_0)=0=g(z_0)$[/tex]; supponi che [tex]$g$[/tex] non abbia altri zeri intorno a [tex]$z_0$[/tex] (cosicché [tex]$z_0$[/tex] è uno zero isolato e d'ordine finito per [tex]$g$[/tex]); e fai vedere che in tali ipotesi esiste il limite:
[tex]$\lim_{z\to z_0} \frac{f^\prime (z)}{g^\prime (z)}$[/tex]
e che tale limite coincide con:
[tex]$\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)}$[/tex].
Basta sviluppare un po' in serie di Taylor [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] ed il gioco è fatto.
Quindi se $f$ è olomorfa o meromorfa posso andare tranquilla?
Grazie
Grazie
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