Dato l'integrale improprio
Dato l'integrale improprio dire se converge:
$\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x$ Ora vi scrivo ciò che il prof ha scritto a lezione, mi potreste illustrare il motivo dei passaggi?
f(x) = $\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \rightarrow \infty$ per $x \rightarrow 0^+$ perchè bisogna andar a vedere quel limite? Poi
$\int_0^{\infty}...= \int_0^1 \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x + \int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x $
Per $x \rightarrow 0^+$ abbiamo che $x^2 + \sqrt{x} \sim \sqrt{x}$ e qundi $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ergo
$\int_0^1 \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x < + \infty $ cioè converge? perchè? Poi
Per $x \rightarrow \infty$ abbiamo che $x^2 + \sqrt{x} \sim x^2$ siccome $2>1$ converge.
Ragazzi io il criterio del confronto l'ho studiato però proprio non riesco a fare questi esercizi. Qualche buon uomo potrebbe spiegarmeli? Quale è la procedura? Poi quando c'è $\alpha$ è ancora peggio
$\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x$ Ora vi scrivo ciò che il prof ha scritto a lezione, mi potreste illustrare il motivo dei passaggi?
f(x) = $\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \rightarrow \infty$ per $x \rightarrow 0^+$ perchè bisogna andar a vedere quel limite? Poi
$\int_0^{\infty}...= \int_0^1 \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x + \int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x $
Per $x \rightarrow 0^+$ abbiamo che $x^2 + \sqrt{x} \sim \sqrt{x}$ e qundi $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ergo
$\int_0^1 \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x < + \infty $ cioè converge? perchè? Poi
Per $x \rightarrow \infty$ abbiamo che $x^2 + \sqrt{x} \sim x^2$ siccome $2>1$ converge.
Ragazzi io il criterio del confronto l'ho studiato però proprio non riesco a fare questi esercizi. Qualche buon uomo potrebbe spiegarmeli? Quale è la procedura? Poi quando c'è $\alpha$ è ancora peggio
Risposte
"davidedesantis":
Dato l'integrale improprio dire se converge:
$\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \text{d} x$ Ora vi scrivo c'ho che il prof ha scritto a lezione, mi potreste illustrare il motivo dei passaggi?
f(x) = $\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \rightarrow \infty$ per $x \rightarrow 0^+$ perchè bisogna andar a vedere quel limite?.
Qualche buon uomo potrebbe spiegarmeli?
Certo. A patto che non scrivi più "c'ho" al posto di "ciò" altrimenti mi arrabbio.
Partiamo dal fatto di base: l'integrale è una somma, una somma strana, ma pur sempre una somma.
Quando hai integrali di funzioni limitate su intervalli limitati gli integrali convergono sempre. D'accordo ?
Il risultato sara' grande quanto vuoi, ma è finito, è un numero (se lo conosciamo o no esattamente, non ci interessa adesso).
Adesso se questa somma (l'integrale) si estende su un intervallo illimitato, infinito capisci che non siamo più sicuri di quello che succede. A parte capire il valore, il risultato, dobbiamo prima preoccuparci se questo valore esiste, oppure se il risultato continua a crescere sempre di più.
Se sommi 1+1+1+1+1+....... infinite volte capisci che il valore cresce a dismisura, per cui intanto è necessario che ciò che andiamo a sommare diventi sempre più piccolo, cioè quello che ha fatto il tuo prof, ovvero guardare se il limite è zero.
Se il limite non è zero, è inutile andare avanti, ci si ferma e si dice che l'integrale diverge. OK ?
Quintizio ti sbagli io avevo scritto "ciò"! 
Credo di aver capito. Quando il prof studia $f(x)$ per $x \rightarrow 0^+$ e$ x\rightarrow + \infty$ è per vedere se è limitata? Però l'intervallo lo è sicuro giusto?
Poi perchè spezza in quel modo l'integrale? Per usare il confronto? Perchè mette quegl'estremi di integrazione in particolar modo?
PS ma quell'equazione sui numeri complessi a cui hai risposto, è corretta?
Ragazzi ma come fate a sopportarmi su questo forum??
Credo di aver capito. Quando il prof studia $f(x)$ per $x \rightarrow 0^+$ e$ x\rightarrow + \infty$ è per vedere se è limitata? Però l'intervallo lo è sicuro giusto?
Poi perchè spezza in quel modo l'integrale? Per usare il confronto? Perchè mette quegl'estremi di integrazione in particolar modo?
PS ma quell'equazione sui numeri complessi a cui hai risposto, è corretta?
Ragazzi ma come fate a sopportarmi su questo forum??
Scusami eh.... però un intervallo definito come $(0,+oo)$ ti sembra limitato ? Lo dice anche la parola.... da zero fino all'infinito....
sorry è vero...però la funzione non lo sappiamo no?
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