Dato il campo vettoriale trovare i tutti i potenziali di F.
$F(x,y)=(3x^2e^y)/(1+x^3) dx + e^ylog(1+x^3) dy$
trovare tutti i potenziali di F.
come lo risolvo? F è conservativo e irrotazionale e il dominio è semplicemente connesso... ma come trovo tutti i potenziali?
trovare tutti i potenziali di F.
come lo risolvo? F è conservativo e irrotazionale e il dominio è semplicemente connesso... ma come trovo tutti i potenziali?
Risposte
allora puoi utilizzare questo metodo..
una volta verificato che la forma differenziale sia esatta sappiamo che esiste $U(x,y)$ tale che le derivate parziali risultano essere:
$(delU)/(dely)= e^ylog(1+x^3)$
$(delU)/(delx)= (3x^2e^y)/(1+x^3)$
quindi per trovare i poteziali basta integrare una delle due funzioni rispetto alla rispettiva variabile ad esempio deriviamo la $X$ rispetto ad x aggiungendo a quello che ti esce una funzione $C(y)$ che dipende da y ma che non conosciamo..questa è la nostra $U(x,y)$
per trovare la $C(y)$ deriviamo la $U(x,y)$ per y e la confrontiamo con la $Y$..calcolata la $C'(y)$ integrando otteniamo la $C(y)$ e quindi ogni potenziale (ricordandoci che i potenziali differiscono per una costante)..
ho cercato di essere il più chiaro possibile..se ti è sfuggito un passaggio chiedi pure..
una volta verificato che la forma differenziale sia esatta sappiamo che esiste $U(x,y)$ tale che le derivate parziali risultano essere:
$(delU)/(dely)= e^ylog(1+x^3)$
$(delU)/(delx)= (3x^2e^y)/(1+x^3)$
quindi per trovare i poteziali basta integrare una delle due funzioni rispetto alla rispettiva variabile ad esempio deriviamo la $X$ rispetto ad x aggiungendo a quello che ti esce una funzione $C(y)$ che dipende da y ma che non conosciamo..questa è la nostra $U(x,y)$
per trovare la $C(y)$ deriviamo la $U(x,y)$ per y e la confrontiamo con la $Y$..calcolata la $C'(y)$ integrando otteniamo la $C(y)$ e quindi ogni potenziale (ricordandoci che i potenziali differiscono per una costante)..
ho cercato di essere il più chiaro possibile..se ti è sfuggito un passaggio chiedi pure..
Quindi ad sempio integro $log(1+x^3)e^y$ rispetto a y e mi viene $e^ylog(1+x^3)+C(x)$
derivo quest'ultimo risultato rispetto a x e ottengo $(3x^2e^y)/(1+x^3)+C'(x)$ e poi con cosa la confronto??
derivo quest'ultimo risultato rispetto a x e ottengo $(3x^2e^y)/(1+x^3)+C'(x)$ e poi con cosa la confronto??
"Knuckles":
Quindi ad sempio integro $log(1+x^3)e^y$ rispetto a y e mi viene $e^ylog(1+x^3)+C(x)$
derivo quest'ultimo risultato rispetto a x e ottengo $(3x^2e^y)/(1+x^3)+C'(x)$ e poi con cosa la confronto??
giusto..la confronti con la $X$ e noti che $C'(x)=0$ quindi gli infiniti potenziali sono:
$U(x,y)= e^ylog(1+x^3)+ A ; AA A in RR$
ma con X cosa indichi?
"Knuckles":
ma con X cosa indichi?
io sono abituato a rappresentare una forma differenziale in questo modo:
$\omega= Xdx+Ydy$
quindi nel tuo caso:
$X=(3x^2e^y)/(1+x^3)$
ok perfetto.... una cosa l'inizio dell'esercizio era così:
$F(x,y)=((kx^2e^y)/(1+x^3))dx+(e^ylog(1+x^3))dy$
per quali k F ha potenziali?
ho detto che F ha potenziali se esiste v(x,y) per cui $V_x=(kx^2e^y)/(1+x^3)$ e $V_y=(e^ylog(1+x^3)$.
dopodichè ho integrato X in dx e mi viene $ke^y/3log(1+x^3) + C(y)$,
derivo rispetto a y ottenendo $ke^y/3log(1+x^3) + C'(y)$ e la confronto con Y e ricavo $C(y)=(1-k/3)log(1+x^3)e^y + C$.
sostituisco e mi viene $V(x,y)=ke^y/3log(1+x^3) + (1-k/3)log(1+x^3)e^y + C= e^ylog(1+x^3)$
trovo le derivate parziali e mi viene $V_x=(3x^2e^y)/(1+x^3)$ e $V_y=e^ylog(1+x^3)$
per cui f ha potenziali per k=3. giusto?
$F(x,y)=((kx^2e^y)/(1+x^3))dx+(e^ylog(1+x^3))dy$
per quali k F ha potenziali?
ho detto che F ha potenziali se esiste v(x,y) per cui $V_x=(kx^2e^y)/(1+x^3)$ e $V_y=(e^ylog(1+x^3)$.
dopodichè ho integrato X in dx e mi viene $ke^y/3log(1+x^3) + C(y)$,
derivo rispetto a y ottenendo $ke^y/3log(1+x^3) + C'(y)$ e la confronto con Y e ricavo $C(y)=(1-k/3)log(1+x^3)e^y + C$.
sostituisco e mi viene $V(x,y)=ke^y/3log(1+x^3) + (1-k/3)log(1+x^3)e^y + C= e^ylog(1+x^3)$
trovo le derivate parziali e mi viene $V_x=(3x^2e^y)/(1+x^3)$ e $V_y=e^ylog(1+x^3)$
per cui f ha potenziali per k=3. giusto?
ha potenziali se la forma è esatta..quindi devi studiare il dominio e fare tutte le considerazioni del caso..
prima verifichi se la forma è chiusa, ovvero derivando X rispetto ad y e Y rispetto ad x.se le derivate miste coincidono allora la forma è chiusa ed essando il dominio semplicemente connesso si può affermare che la forma è anche esatta ed ammette potenziali..
in poche parole credo che nel tuo caso ti chieda di fare le derivate parziali..di X ed Y e verificare per quali valori di k esse si eguagliano..e solo successivamente calcolare i vari potenziali...con il metodo che ti ho descritto..
comunque oltre il metodo che ti ho esposto ne esiste un'altro per calcolare il potenziale..
prima verifichi se la forma è chiusa, ovvero derivando X rispetto ad y e Y rispetto ad x.se le derivate miste coincidono allora la forma è chiusa ed essando il dominio semplicemente connesso si può affermare che la forma è anche esatta ed ammette potenziali..
in poche parole credo che nel tuo caso ti chieda di fare le derivate parziali..di X ed Y e verificare per quali valori di k esse si eguagliano..e solo successivamente calcolare i vari potenziali...con il metodo che ti ho descritto..
comunque oltre il metodo che ti ho esposto ne esiste un'altro per calcolare il potenziale..
potresti essere più chiaro? quello che ho fatto è giusto?
"Knuckles":
potresti essere più chiaro? quello che ho fatto è giusto?
il punto è che dai per scontato che abbia dei potenziali..capito? quando dici:
ho detto che F ha potenziali se esiste v(x,y) per cui $V_x=(kx^2e^y)/(1+x^3)$ e $V_y=e^ylog(1+x^3)$.
non dici nulla..o meglio non stai dimostrando che abbia dei potenziali..quindi perchè andare a calcolarli??
dovresti a mio parere prima verificare per quali valori di k la forma sia esatta e solo dopo andare a calcolare i potenziali..non puoi fare il contrario..cioè partire dai potenziali per dire se la forma è esatta..
in poche parole l'esercizio ti chiede per quali valori di k la forma è esatta..e devi verificare questo..
comunque io do per scontato che conosca la teoria..altrimente ti conviene andare a rivedere tutto..
ma non è quello che ho fatto io? F è esatta se esiste v(xy) tale che grad di V= a F? cioè che V_x e V_y siano uguali rispettivamente a f1 e f2?
"Knuckles":
ma non è quello che ho fatto io? F è esatta se esiste v(xy) tale che grad di V= a F? cioè che V_x e V_y siano uguali rispettivamente a f1 e f2?
non ci siamo ancora capiti..allora..l'esercizio ti chiede di trovare per quali valori di k F ha potenziali..
per come hai impostato tu la cosa sei partito col dire " ha potenziali se esiste V(x,y)"..ecco e qui secondo me sbagli..tu devi proprio dimostrare l'esistenza di V(x,y), che è il potenziale.. non è detto che esso esista..
il tuo procedimento serve per ricavare la funzione potenziale e non per dimostrare che essa esiste..per fare ciò devi vedere per quali valori di k la forma differenziale è esatta..
potresti farmi vedere come fare? perchè ho capito quello che dici ma non saprei come fare... magari anche un esempio e poi provo a farlo per il mio esercizio e vediamo se lo faccio corretto...
"Knuckles":
potresti farmi vedere come fare? perchè ho capito quello che dici ma non saprei come fare... magari anche un esempio e poi provo a farlo per il mio esercizio e vediamo se lo faccio corretto...
allora la prima cosa da fare è trovare il dominio..che nel nostro caso è $x>-1$
è semplicemente connesso quindi ci basta vedere quando la forma diff è chiusa.
è chiusa quando le derivate parziali miste $X_y$ e $Y_x$ si eguagliano..quindi verifichi per quali k ciò accade..
fatto ciò vediamo che è vero per $k=3$.. ed essendo il dominio semplicemente connesso possiamo affermare che la forma è esatta e che esiste una funzione potenziale di F..
e solo ora si calcolano i potenziali..
in poche parole volevo farti notare che devi prima accertarti che esista un potenziale..spero che adesso sia un pò più chiaro..
ok... chiaro.... tale cosa l'ho fatta ma dopo aver già calcolato v(x,y), ho dato per scontato che esistesse... ma invece devo farlo prima... e quando trovo che ci sono k per cui $X_y$ e $Y_x$ sono uguali, e che il dominio è sempl connesso allora esiste una funzione potenziale... e poi procedo come ho fatto prima... thak you very much!
"Knuckles":
ok... chiaro.... tale cosa l'ho fatta ma dopo aver già calcolato v(x,y), ho dato per scontato che esistesse... ma invece devo farlo prima... e quando trovo che ci sono k per cui $X_y$ e $Y_x$ sono uguali, e che il dominio è sempl connesso allora esiste una funzione potenziale... e poi procedo come ho fatto prima... thak you very much!
perfetto..ci siamo capiti
ciao
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