Dalla definizione di derivata...
sto studiando la definizione di derivata.
f è derivabile se e solo se esiste il $ lim x->x° $ $ (f(x)-f(x°))/(x-x°) $
Quindi se io prendo ad esempio la funzione seno e voglio calcolare la derivata nell' intervallo tra sin(Pi/2) e sin (Pi/6)
ovviamente la funzione in quei punti sarà rispettivamente 1 e 1/2
sostituendo uscirà che $ (1 - 1/2 )/(Pi/2 - Pi/6) $ ??? che è un valore numerico. Quel valore indica la derivata in quell' intervallo?
f è derivabile se e solo se esiste il $ lim x->x° $ $ (f(x)-f(x°))/(x-x°) $
Quindi se io prendo ad esempio la funzione seno e voglio calcolare la derivata nell' intervallo tra sin(Pi/2) e sin (Pi/6)
ovviamente la funzione in quei punti sarà rispettivamente 1 e 1/2
sostituendo uscirà che $ (1 - 1/2 )/(Pi/2 - Pi/6) $ ??? che è un valore numerico. Quel valore indica la derivata in quell' intervallo?
Risposte
Sbagli. La derivata è un concetto locale. Puoi dire poi che una funzione è derivabile su un intervallo se lo è in ogni punto di questo.
Per esempio per calcolare la derivata del seno nel punto $x_0$ dovresti calcolare $lim_(x -> x_0 ) (sin(x) - sin(x_0))/(x - x_0)$.
Per esempio per calcolare la derivata del seno nel punto $x_0$ dovresti calcolare $lim_(x -> x_0 ) (sin(x) - sin(x_0))/(x - x_0)$.
Quindi poichè x tende a x° in preticahanno lo stesso valore. A me sembra una funzione 0/0.
"piratax89":
Quindi poichè x tende a x° in preticahanno lo stesso valore. A me sembra una funzione 0/0.
Oltre al fatto che faccio fatica a leggere quello che hai scritto, mi sembra che tu non abbia mai visto un libro di Analisi. Mi sbaglio?
PUò darsi che è come dici te. Può darsi che sono stupido e chiedo un chiarimento. Quindi le tue supposizioni tienile per te. Se non ti è chiaro ciò che scrivo sono pronto a esprimermi meglio.
Detto ciò.. Se abbiamo un limite per x che tende a x° come sopra, sinx e sinx° hanno lo stesso valore al limite. cosi x e x°.
Volevo dire che a me sembra una forma indeterminata zero su zero. Se ancora non hai capito il mio dubbio con educazione e rispetto verso chi sa meno di te cercherò di rispiegarmi.
Detto ciò.. Se abbiamo un limite per x che tende a x° come sopra, sinx e sinx° hanno lo stesso valore al limite. cosi x e x°.
Volevo dire che a me sembra una forma indeterminata zero su zero. Se ancora non hai capito il mio dubbio con educazione e rispetto verso chi sa meno di te cercherò di rispiegarmi.
Non vedo maleducazione nelle risposte che ti ho dato; se vuoi fare la parte della vittima con manìe di persecuzione fai pure. Sappi soltanto che dalle domande che poni e dal linguaggio che usi ( "funzione $0/0$" tanto per dirne una ) sembra che tu non abbia mai aperto un libro di Analisi.
Io cercherei di avere un po' più di rispetto. Tra l'altro, Seneca non ha detto che sei stupido, credo volesse solo sincerarsi del tuo livello di conoscenza.
HAi ragione anche nel dire che l espressione funzione 0/0 non ha senso. Ma ovviamente era solo un modo breve di fare capire un concetto. Ossia se io alla funzione sostituisco un valore avrò sempre una forma indeterminata 0/0. Se cerchi cortesemente di rispondermi vedo di dirti cosa non capisco altrimenti nessuno ti obbliga a rispondere. Nè tanto meno stai parlando con un bambino che ha bisogno di fare la vittima. Con questo non voglio attaccarti.
up
Ora è chiaro che non hai letto neanche il regolamento...
E' anche chiaro che non riesci a dare una risposta alle domande che si postano ma riesci sempre a intervenire in modo sgarbato. Ora che mi fai notare il regolamento credo che darò molta attenzione alla regola 3.17. Dovresti leggerlo anche te a questo punto.
Secondo me sarebbe meglio ritornare in tema. Quello che si sta cercando di dire è che quello che hai scritto nel tuo primo post è molto sbagliato. Come ti ha fatto correttamente notare Seneca, la derivata è un concetto locale, ovvero il limite del rapporto incrementale è calcolato in un punto, non in un intervallo. Quindi per sapere se una funzione è derivabile in un intervallo non puoi usare la definizione, perché dovresti andare a verificare che esiste il limite in tutti i punti dell'intervallo che sono ovviamente infiniti. Quindi devi fare un altro ragionamento.
Comunque, a parte le diatribe, è ben vero che la derivata - ogni derivata - è una forma $0/0$ (cioè è limite del rapporto di due quantità che tendono a zero).
Ogni derivata elementare che si riesce a calcolare (per esempio quella del seno, di cui state parlando) corrisponde a trovare il limite di una forma indeterminata.
Quello che forse non capisce bene piratax89 (ma è l'errore tipico) è che "forma indeterminata" non vuol dire "limite indeterminato" o "limite non esistente", bensì
limite il cui risultato non è prevedibile con un teorema unico. Per esempio se $f(x)\to 3$ e $g(x)\to 5$ allora posso affermare con sicurezza (SENZA SAPERE ALTRO
DI $f$ e $g$) che $f(x)/g(x)\to 3/5$. Viceversa non c'e' nessun teorema (E NON CI PUO' ESSERE) che possa dirmi cosa fa $f(x)/g(x)$ nel caso in cui $f$ e $g$ tendano
entrambe a zero. Ma questo non vuol dire che - CASO PER CASO - non si possa trovare il limite di $f(x)/g(x)$ (o che si possa trovare che tale limite non esiste) - però
in questa situazione la SOLA conoscenza del limite di $f$ e $g$ non è sufficiente.
Ogni derivata elementare che si riesce a calcolare (per esempio quella del seno, di cui state parlando) corrisponde a trovare il limite di una forma indeterminata.
Quello che forse non capisce bene piratax89 (ma è l'errore tipico) è che "forma indeterminata" non vuol dire "limite indeterminato" o "limite non esistente", bensì
limite il cui risultato non è prevedibile con un teorema unico. Per esempio se $f(x)\to 3$ e $g(x)\to 5$ allora posso affermare con sicurezza (SENZA SAPERE ALTRO
DI $f$ e $g$) che $f(x)/g(x)\to 3/5$. Viceversa non c'e' nessun teorema (E NON CI PUO' ESSERE) che possa dirmi cosa fa $f(x)/g(x)$ nel caso in cui $f$ e $g$ tendano
entrambe a zero. Ma questo non vuol dire che - CASO PER CASO - non si possa trovare il limite di $f(x)/g(x)$ (o che si possa trovare che tale limite non esiste) - però
in questa situazione la SOLA conoscenza del limite di $f$ e $g$ non è sufficiente.
ViciousGoblin sei stato abbastanza esaustivo nella risposta. Io so bene che forma indeterminata non vuol dire limite indeterminato. Avvolte fare domande che sembrano banali può far sembrare che uno non conosca per nulla l' argomento. Siccome a me piace immaginare su un grafico cosa accade o per lo meno capire effettivamente, in questo caso della definizione di derivata non riuscivo a darmi una risposta.
Quindi devo prendere per buona la definizione senza capire perche effettivamente si fa $ lim h-> 0 (f(x+h) - f(x) ) / h $
la funzione (in un punto ) piu un infinitesimo meno la funzione tutto fratto l' infinitesimo. Ma la derivata non è il coefficenteangolare della retta tangente in quel punto? Scusate la banalità forse delle domande.
Quindi devo prendere per buona la definizione senza capire perche effettivamente si fa $ lim h-> 0 (f(x+h) - f(x) ) / h $
la funzione (in un punto ) piu un infinitesimo meno la funzione tutto fratto l' infinitesimo. Ma la derivata non è il coefficenteangolare della retta tangente in quel punto? Scusate la banalità forse delle domande.
Guarda, esiste una moltitudine di testi, di ogni livello, che spiegano egregiamente questi concetti. Sei sicuro di averne letto attentamente almeno uno?
ok fa niente lasciamo stare
"piratax89":
ViciousGoblin sei stato abbastanza esaustivo nella risposta. Io so bene che forma indeterminata non vuol dire limite indeterminato. Avvolte fare domande che sembrano banali può far sembrare che uno non conosca per nulla l' argomento. Siccome a me piace immaginare su un grafico cosa accade o per lo meno capire effettivamente, in questo caso della definizione di derivata non riuscivo a darmi una risposta.
Quindi devo prendere per buona la definizione senza capire perche effettivamente si fa $ lim h-> 0 (f(x+h) - f(x) ) / h $
la funzione (in un punto ) piu un infinitesimo meno la funzione tutto fratto l' infinitesimo. Ma la derivata non è il coefficenteangolare della retta tangente in quel punto? Scusate la banalità forse delle domande.
In effetti, come altri hanno detto un po seccamente, l'idea che c'è sotto il limite del rapporto incrementale è spiegata (di solito) nei testi
di analisi. Devi prendere un punto $x_0$ e un altro punto, diverso dal primo, che puoi indicare con $x_0+h$ (per $h\ne 0$). Ti scrivi l'equazione della retta che passa per i punti $(x_0,f(x_0))$ e $(x_0+h, f(x_0+h))$, la quale (fai la verifica!) ha coefficiente angolare pari a $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Se fai tendere $h$ a zero - intuitivamente le rette di cui sopra tendono alla tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0,f(x_0))$ e "quindi" il rapporto incrementale tende al coefficiente angolare di tale retta.
Grazie ho capito. Era questo che volevo capire! Ti ringrazio per fortuna c'è gente come te che se deve rispondere non lo fa perchè si sente superiore ma umilmente riesce a dare chierimenti. Sei un grande! 
si può chiudere
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