Dal rotore al campo

[fhabbio]

Premetto che non so nemmeno se questa è la sezione giusta, e quindi chiedo a chi di competenza di spostare il thread dove ritiene più opportuno.
Il mio problema è il seguente.
Mi chiedevo se era possibile risalire al campo vettoriale noto il rotore del campo.

Personalmente mi scontro contro un muro e non riesco a uscirne.
Partiamo dall'inizio
Sia $\bar F(x,y,z)$ un campo vettoriale di $RR^3$ incognito
E' noto però $\bar G=\nabla xx \bar F$
Per comodità chiamiamo le componenti di $\nabla xx \bar F=\bar G(x,y,z)=(G_1,G_2,G_3)$
[1.a] $ (delF_z)/(dely)-(delF_y)/(delz)=G_1$
[1.b] $ (delF_x)/(delz)-(delF_z)/(delx)=G_2$
[1.c] $ (delF_y)/(delx)-(delF_x)/(dely)=G_3$

quindi $\bar G$ e le sue componenti sono funzioni note. Quello che dobbiamo trovare è $\bar F$ con le sue componenti $(F_x, F_y, F_z)$
Tutto ciò è assurdamente complicato, in quanto abbiamo 3 equazioni differenziali alle derivate parziali.
Pensavo che conoscendo l'andamento di $\nabla F_x$,$\nabla F_y$ e $\nabla F_z$ avrei potuto ricostruire $\bar F$, il che significa avere 9 funzioni incognite!
Forse potrebbe aiutare considerare che la $\nabla *( \nabla xx bar F)=0$
Ciò implica l'uguaglianza delle derivate miste.

[2.a] $(del)/(dely)((delF_x)/(delz))=(del)/(delz)((delF_x)/(dely))$
[2.b] $(del)/(delx)((delF_y)/(delz))=(del)/(delz)((delF_y)/(delx))$
[2.c] $(del)/(delx)((delF_z)/(dely))=(del)/(dely)((delF_z)/(delx))$

quindi le equazioni [1.a],[1.b] e [1.c] diventano

[3.a] $(del)/(delx)((delF_z)/(dely))-(del)/(delx)((delF_y)/(delz))=(delG_1)/(delx)$
[3.b] $(del)/(dely)((delF_x)/(delz))-(del)/(dely)((delF_z)/(delx))=(delG_2)/(dely)$
[3.c] $(del)/(delz)((delF_y)/(delx))-(del)/(delz)((delF_x)/(dely))=(delG_3)/(delz)$

le equazioni [2] e [3] formano un sistema di 6 equazioni in 6 incognite, ma è facile individuare che una di questa è linearmente dipendente. Quindi il problema resta sottodeterminato.

P.S.
Qui mancano le opportune condizioni al contorno che dipenderanno dal caso in esame

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Questo problema l'avevo incontrato quando stavo studiando elettromagnetismo per l'esame di Fisica II.
Preciso solo che, essendo passato non poco tempo da quando trattavo questo argomento, attualmente non ricordo quasi più nulla.

Il campo vettoriale incognito $vec(F)(x,y,z)$ a cui fai riferimento è noto come "potenziale vettore".
Tra le pochissime cose che ricordo, c'era quella per cui la determinazione di questo potenziale vettore era correlata all'applicazione di un teorema noto come "teorema del rotore".

Altro non ricordo, mi dispiace.

Saluti.