Dal generale al particolare
Salve a tutti ragazzi.. Ho una piccola perplessità... se un teorema è valido da meno infinito a più infinito, è sempre valido anche nel caso particolare? ad esempio in un intervallo chiuso??
Ovvero:
data la proprietà di screening che afferma che:
$ int_(-oo)^(+oo) f(t)delta(t-t0)dt= f(t0) $
se dimostro questo, posso affermare che la formula è valida anche in un intervallo chiuso $ [a,b] $
grazie delle risposte...
Ovvero:
data la proprietà di screening che afferma che:
$ int_(-oo)^(+oo) f(t)delta(t-t0)dt= f(t0) $
se dimostro questo, posso affermare che la formula è valida anche in un intervallo chiuso $ [a,b] $
grazie delle risposte...
Risposte
In realtà quella è una formula che non ha alcun significato, quindi non vedo cosa tu voglia generalizzare. 
in che senso non ha significato?
in automatica è definita come proprietà di screening e su wikipedia si trova sotto le proprietà della funzione delta di dirac...
che intendi scusa?
in automatica è definita come proprietà di screening e su wikipedia si trova sotto le proprietà della funzione delta di dirac...
che intendi scusa?
La \(\delta\) non è una funzione e quello non è un integrale.
Hai studiato Metodi?
Hai studiato Metodi?
ok. mi sa che non ci sono. potresti chiarirmi per favore?
La \(\delta\) di Dirac è una distribuzione, cioè è un funzionale* lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni test \(\mathcal{D}:=C_c^\infty (\mathbb{R})\), i cui elementi sono funzioni regolari e nulle fuori da un compatto (la continuità del funzionale è da intendersi rispetto alla topologia che di solito si mette su \(\mathcal{D}\), ma non voglio approfondire).
Per la precisione \(\delta\) è il funzionale definito dall'assegnazione:
\[
\delta:\ \mathcal{D} \ni u\mapsto \langle \delta ,u\rangle := u(0) \in \mathbb{R}
\]
ove il simbolo \(\langle \delta ,u\rangle\) si usa di solito al posto di \(\delta (u)\) per evitare ambiguità (per farti capire, è come usare \(\langle \log ,x\rangle\) al posto della notazione usuale \(\log (x)\)).
Si possono costruire tante distribuzioni su \(\mathcal{D}\).
Il modo più semplice è il seguente. Se prendi una funzione \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R})\) (cioè una qualsiasi funzione assolutamente integrabile sui compatti) e definisci:
\[
F: \mathcal{D}\ni u \mapsto \langle F,u\rangle := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x \in \mathbb{R}\; ;
\]
riesci a provare che il funzionale \(F\) è ben definito ed è lineare e continuo su \(\mathcal{D}\), perciò esso è una distribuzione!
Dato che \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R})\) l'avevi fissata ad arbitrio, è evidente che ogni funzione assolutamente integrabile sui compatti \(f\) determina una distribuzione \(F\) mediante l'assegnazione:
\[
\langle F,u\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x\; :
\]
le distribuzioni che si determinano in questo modo, cioè attraverso funzioni assolutamente integrabili sui compatti, si chiamano distribuzioni regolari e, usualmente, si conviene di identificare ogni distribuzione regolare con la (classe di equivalenza determinata da una) funzione da cui essa è determinata.
Ora, ti puoi chiedere: non è che in realtà tutte le distribuzioni sono distribuzioni regolari?
In altre parole, è vero o no che ad ogni distribuzione \(F\) si può associare una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R})\) tale che:
\[
\forall u\in \mathcal{D},\qquad \langle F,u\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x\; ?
\]
Ebbene, la risposta a questa domanda è: No!
Infatti c'è un tipico controesempio (che dovrebbe essere a tutti ben noto) di distribuzione che non è una distribuzione regolare, cioè che non proviene da alcuna funzione assolutamente integrabile sui compatti... Quale?
Proprio la \(\delta\) di Dirac!
Invero, si prova che:
Orbene, non essendo la \(\delta\) di Dirac una distribuzione regolare, la pseudo-uguaglianza che gli ingegneri spacciano per una proprietà della \(\delta\), cioè:
\[
\tag{Ing}
\int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ \delta (x)\ \text{d} x = u(0) \qquad \left(\text{o, in generale, } \int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ \delta (x-x_0)\ \text{d} x = u(x_0) \right)
\]
con la quale hai aperto il thread, è una scrittura senza senso.
Altrettanto senza senso sono le scritture che di solito gli ingegneri usano per "identificare" la \(\delta\), tipo:
\[
\delta (x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\neq 0 \\ +\infty &\text{, se } x=0 \end{cases} \qquad \text{e} \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x)\ \text{d} x =1
\]
(che, purtroppo, è un "classico" che si ritrova su molti libri di elettronica, automatica, segnali, etc...).
L'unica cosa a favore della notazione ingegneristica (Ing) è che essa è molto pratica e torna utile quando si tratta di far conti (tipo, calcolare convoluzioni): proprio per questo è stata mantenuta a discapito della notazione matematica (corrente e corretta) \(\langle \delta ,u\rangle\).
***
Per tornare alla domanda con la quale hai aperto il thread, adesso puoi ben convenire con me che essa non ha alcun senso.
Tuttavia, ho capito qual è il tuo dubbio e ti rispondo che Sì, puoi dire quello che vuoi dire... Però per giustificarlo devi procedere per altra via (e non usando quella baggianata che ti hanno insegnato).
La tua domanda può essere riformulata come segue: la \(\delta\) funziona allo stesso modo anche se agisce su una funzione regolare \(u\) che si annulla fuori da un compatto fissato?
Riformulata così la domanda è corretta ed ha risposta affermativa, data la definizione stessa di \(\delta\).
Infatti, la classe \(\mathcal{K}\) delle funzioni \(u\) che sono regolari e nulle fuori da un fissato compatto \(K\) formano un sottoinsieme di \(\mathcal{D}\), quindi restringere \(\delta\) a \(\mathcal{K}\) non crea problemi di sorta.
Per capirci, è un po' come se chiedessi se la funzione \(\log(x)\) ristretta al sottoinsieme \(]2\pi,e^{1237}[\) restituisce sempre il valore del logaritmo... Certo che sì!.
__________
* Ricordo che il termine funzionale è di solito usato per denotare una funzione definita su uno spazio di funzioni la quale associa ad ogni elemento di tale spazio un numero reale (o complesso). Proprio per evitare la cacofonia "funzione di funzioni" si è preferito introdurre il termine di cui sopra.
Per la precisione \(\delta\) è il funzionale definito dall'assegnazione:
\[
\delta:\ \mathcal{D} \ni u\mapsto \langle \delta ,u\rangle := u(0) \in \mathbb{R}
\]
ove il simbolo \(\langle \delta ,u\rangle\) si usa di solito al posto di \(\delta (u)\) per evitare ambiguità (per farti capire, è come usare \(\langle \log ,x\rangle\) al posto della notazione usuale \(\log (x)\)).
Si possono costruire tante distribuzioni su \(\mathcal{D}\).
Il modo più semplice è il seguente. Se prendi una funzione \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R})\) (cioè una qualsiasi funzione assolutamente integrabile sui compatti) e definisci:
\[
F: \mathcal{D}\ni u \mapsto \langle F,u\rangle := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x \in \mathbb{R}\; ;
\]
riesci a provare che il funzionale \(F\) è ben definito ed è lineare e continuo su \(\mathcal{D}\), perciò esso è una distribuzione!
Dato che \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R})\) l'avevi fissata ad arbitrio, è evidente che ogni funzione assolutamente integrabile sui compatti \(f\) determina una distribuzione \(F\) mediante l'assegnazione:
\[
\langle F,u\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x\; :
\]
le distribuzioni che si determinano in questo modo, cioè attraverso funzioni assolutamente integrabili sui compatti, si chiamano distribuzioni regolari e, usualmente, si conviene di identificare ogni distribuzione regolare con la (classe di equivalenza determinata da una) funzione da cui essa è determinata.
Ora, ti puoi chiedere: non è che in realtà tutte le distribuzioni sono distribuzioni regolari?
In altre parole, è vero o no che ad ogni distribuzione \(F\) si può associare una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R})\) tale che:
\[
\forall u\in \mathcal{D},\qquad \langle F,u\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ u(x)\ \text{d} x\; ?
\]
Ebbene, la risposta a questa domanda è: No!
Infatti c'è un tipico controesempio (che dovrebbe essere a tutti ben noto) di distribuzione che non è una distribuzione regolare, cioè che non proviene da alcuna funzione assolutamente integrabile sui compatti... Quale?
Proprio la \(\delta\) di Dirac!
Invero, si prova che:
Non esiste alcuna funzione \(d\in L_{loc}^1(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\forall u \in \mathcal{D},\qquad \langle \delta ,u\rangle =u(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} d(x)\ u(x)\ \text{d} x\; .
\]
Orbene, non essendo la \(\delta\) di Dirac una distribuzione regolare, la pseudo-uguaglianza che gli ingegneri spacciano per una proprietà della \(\delta\), cioè:
\[
\tag{Ing}
\int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ \delta (x)\ \text{d} x = u(0) \qquad \left(\text{o, in generale, } \int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ \delta (x-x_0)\ \text{d} x = u(x_0) \right)
\]
con la quale hai aperto il thread, è una scrittura senza senso.
Altrettanto senza senso sono le scritture che di solito gli ingegneri usano per "identificare" la \(\delta\), tipo:
\[
\delta (x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\neq 0 \\ +\infty &\text{, se } x=0 \end{cases} \qquad \text{e} \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x)\ \text{d} x =1
\]
(che, purtroppo, è un "classico" che si ritrova su molti libri di elettronica, automatica, segnali, etc...).
L'unica cosa a favore della notazione ingegneristica (Ing) è che essa è molto pratica e torna utile quando si tratta di far conti (tipo, calcolare convoluzioni): proprio per questo è stata mantenuta a discapito della notazione matematica (corrente e corretta) \(\langle \delta ,u\rangle\).
***
Per tornare alla domanda con la quale hai aperto il thread, adesso puoi ben convenire con me che essa non ha alcun senso.
Tuttavia, ho capito qual è il tuo dubbio e ti rispondo che Sì, puoi dire quello che vuoi dire... Però per giustificarlo devi procedere per altra via (e non usando quella baggianata che ti hanno insegnato).
La tua domanda può essere riformulata come segue: la \(\delta\) funziona allo stesso modo anche se agisce su una funzione regolare \(u\) che si annulla fuori da un compatto fissato?
Riformulata così la domanda è corretta ed ha risposta affermativa, data la definizione stessa di \(\delta\).
Infatti, la classe \(\mathcal{K}\) delle funzioni \(u\) che sono regolari e nulle fuori da un fissato compatto \(K\) formano un sottoinsieme di \(\mathcal{D}\), quindi restringere \(\delta\) a \(\mathcal{K}\) non crea problemi di sorta.
Per capirci, è un po' come se chiedessi se la funzione \(\log(x)\) ristretta al sottoinsieme \(]2\pi,e^{1237}[\) restituisce sempre il valore del logaritmo... Certo che sì!.
__________
* Ricordo che il termine funzionale è di solito usato per denotare una funzione definita su uno spazio di funzioni la quale associa ad ogni elemento di tale spazio un numero reale (o complesso). Proprio per evitare la cacofonia "funzione di funzioni" si è preferito introdurre il termine di cui sopra.
Grazie! credo di aver capito.... adesso mi metto a studiare un po di teoria!
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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