Da serie di funzioni a serie di potenze
Ho la seguente serie di funzioni:
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1))^n sin x)/(\pi^n \sqrt(n))$
Se riscrivo la serie in questo modo $\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1)root(n)(sin x))^n)/(\pi^n \sqrt(n))$ diventa una serie di potenze, giusto? Quindi posso poi procedere con la seconda serie e vedere se converge puntualmente/uniformemente/etc come una serie di potenze?
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1))^n sin x)/(\pi^n \sqrt(n))$
Se riscrivo la serie in questo modo $\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1)root(n)(sin x))^n)/(\pi^n \sqrt(n))$ diventa una serie di potenze, giusto? Quindi posso poi procedere con la seconda serie e vedere se converge puntualmente/uniformemente/etc come una serie di potenze?
Risposte
"Kernul":
Ho la seguente serie di funzioni:
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1))^n sin x)/(\pi^n \sqrt(n))$
Se riscrivo la serie in questo modo $\sum_{n = 1}^{\infty} ((4 arccos(log x - 1)root(n)(sin x))^n)/(\pi^n \sqrt(n))$ diventa una serie di potenze, giusto?
Ma proprio NO.
Infatti, la funzione elevata a potenza dipende dall'indice $n$, e ciò è proprio quello che NON deve accadere affinché una serie di funzioni sia riconducibile ad una s.d.p.
Tuttavia, nota che puoi portare il fattore $\sin x$ fuori dal simbolo sommatorio, cioè puoi scrivere:
\[
\sum \frac{\big(4 \arccos(\log x -1)\big )^n\ \sin x}{\pi^n \sqrt{n}} = \sin x\ \sum \frac{1}{\sqrt{n}}\ \left( \frac{4 \arccos(\log x -1)}{\pi}\right)^n\; ,
\]
perché $\sin x$ non dipende dall'indice di sommatoria. Quindi...
Infatti, la funzione elevata a potenza dipende dall'indice n, e ciò è proprio quello che NON deve accadere affinché una serie di funzioni sia riconducibile ad una s.d.p.
In che senso non deve accadere? Cioè non deve essere elevato all'indice $n$? Una serie di potenze non è del tipo $\sum_{n = 1}^{\infty} a_k x^k$?
E comunque grazie, non ci avevo fatto caso al $sin x$ e al $\pi^n$.
Infatti, mi aiuti a dire... In una serie di potenze \(\sum a_n x^n\) la base $x$ non dipende in alcun modo dall'esponente $n$.
Allo stesso modo, affinché una serie di funzioni sia riconducibile ad una s.d.p. c'è bisogno che essa sia del tipo \(\sum a_n \Big( f(x)\Big)^n\), con la funzione $f$ che non dipende in alcun modo dall'esponente $n$.
Allo stesso modo, affinché una serie di funzioni sia riconducibile ad una s.d.p. c'è bisogno che essa sia del tipo \(\sum a_n \Big( f(x)\Big)^n\), con la funzione $f$ che non dipende in alcun modo dall'esponente $n$.
Oh! Ho capito adesso perché.
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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