Da risolvere per parti

[freddofede]

Determinare se converge

$int_1^(+oo)sen(x)arcsen(1/x)dx$

[miuemia]

questo integrale lo puoi maggiorare con quello dell arcsin(1/x) e a questo punto ti resta da vedere se arcsin(1/x) è integrabile in un intorno di +inf.

[cavallipurosangue]

Infatti questo si fa proprio per parti... Facendo come ci propone miuemia troviamo solo che la funziine maggiorante diverge, quindi non possiamo dir nulla sulla convergenza della nostra funzione.
Invece scriviamo:
$\int_1^{+\infty}sin(x)\asin(1/x)dx\approx\int_1^{+\infty}sinx/xdx=[\cos(x)/x]_1^{+\infty}+\int_1^{+\infty}\cos(x)/x^2dx=>|\int_1^{+\infty}\cos(x)/x^2dx|<\int_0^{+\infty}1/x^2dx=[-1/x]_1^{+\infty}=1$ il che implica la convergenza.

[freddofede]

Scusa, tanto per sapere, ma è possibile risolverlo per parti senza l'approssimazione al secondo passaggio? Il fatto è che avevamo appena usato il tuo metodo per risolvere $(senx)/x$, e la prof ci ha dato l'esercizio di sopra dicendo che si risolveva analogamente... mi sembra strano l'analogia fosse così banale ...

[cavallipurosangue]

Non è proprio banalissimo, devi in effetti ricorrere a questa approssimazione tramite MacLaurin: $\atan(1/x)=1/x+o(1/x)$ dato che $x\to+\infty=>1/x\to0$
Infatti una volta fatto questo il metodo è proprio analogo...

[freddofede]

"cavallipurosangue":Non è proprio banalissimo, devi in effetti ricorrere a questa approssimazione tramite MacLaurin: $\atan(1/x)=1/x+o(1/x)$ dato che $x\to+\infty=>1/x\to0$
Infatti una volta fatto questo il metodo è proprio analogo...

Intendevi $asin$?

Comunque mi aspettavo un procedimento totalmente diverso... boh...

[cavallipurosangue]

Si scusa $asin$ cmq se anche la prof ti ha detto che è analogo...